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Sopra alcune particolari congruenze di rette del terzo ordine. (Italian) JFM 32.0665.01

Die algebraischen Strahlenkongruenzen dritter Ordnung sind viel weniger untersucht als die Kongruenzen erster und zweiter Ordnung. Wichtige Beiträge zur Kenntnis der Kongruenzen dritter Ordnung ohne singuläre Strahlen verdankt man Fano, der kürzlich seine Studien zusammengefaßt hat in Torino Mem. 51 (vorstehend besprochen, siehe JFM 32.0664.02). In der vorliegenden Note untersucht nun der Verf. einige spezielle jener Komplexe, die er in zwei Abteilungen teilt.
1. Strahlenkongruenzen dritter Ordnung, welche in einem tetraedralen Komplex enthalten sind. Dieselben lassen sich erzeugen durch zwei Scharen \(\infty^2\) zu einander kollinearer Ebenen, welche \(k(\leqq 4)\) zusammenfallende Doppelebenen haben und ev. auch \(k'\leqq 4-k\) zusammenfallende einfache Ebenen. Die Klasse der Kongruenz ist \(9-2k-k'\), ihr Schnittgeschlecht \(4-k\). Nimmt man nun für \(k, k'\) die möglichen Kombinationen, so erhält man eine Reihe von Kongruenzen, die in der Note zusammengestellt sind mit Angabe einzelner Eigenschaften.
2. Kongruenzen von Hauptstrahlen eines linearen \(\infty^3\) Systems von \(F^2\) (\(F^2\) = Fläche zweiter Ordnung). Hauptstrahlen sind nach Reye diejenigen Erzeugenden, durch welche noch ein Büschel der \(F^2\) hindurchgeht. Wenn das gegebene \(F^2\)-System keine Basispunkte besitzt, so bilden nach den früheren Untersuchungen des Verf. die Hauptstrahlen eine Kongruenz (7, 3). Nun wird die Untersuchung dahin spezialisiert, daßfür das \(F^2\)-System der Reihe nach 1, 2, 3, 4, 5 (allgemein \(k\)) Basispunkte angenommen werden. Die Kongruenzen werden dann Kongruenzen \((7-k, 3)\), und die Basispunkte sind singuläre Punkte, von deren jedem ein Strahlenkegel ausgeht. Im einzelnen werden nun die verschiedenen Möglichkeiten diskutiert und die in den Kongruenzen auftretenden Kegel angegeben.

Citations:

JFM 32.0664.02
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