×

zbMATH — the first resource for mathematics

Fünf Abhandlungen zur Potentialtheorie: 1. Ein allgemeiner Beweis der Methoden des alternierenden Verfahrens und der Existenz der Lösungen des Dirichletschen Problems im Raume. 2. Eine weitere Verallgemeinerung der Methode des arithmetischen Mittels. 3. Über die zweite und dritte Randwertaufgabe und ihre Lösung. 4. Über die Differentialgleichung \(\varDelta u + k\varphi^2 u =f\) und die harmonischen Funktionen Pioncarés. 5. Über einen Satz von Zaremba und die Methode des arithmetischen Mittels im Raume. (German) JFM 32.0770.10
Berlin: Ferd. Dümmler. XVI + 34 + 34 + 56 + 55 + 66 S. \(8^\circ\) (1902).
Die vorliegenden fünf Abhandlungen bilden eine Ergänzung zu des Verf. Lehrbuch der Potentialtheorie (vergl. F. d. M. 30, 690, 1899; 31, 728, 1900, JFM 30.0690.05 und JFM 31.0728.04) und enthalten teils Vereinfachungen der früheren Beweise, teils Erweiterungen der Resultate. Abhandlung 1 gibt, gestützt auf drei wichtige, an die Spitze gestellte Hülfssätze eine Lösung des Dirichletschen Problems im Raume, die unabhängig ist von den früheren Voraussetzungen über die Ableitung der Randwerte \(f\) und lediglich die (abteilungsweise) Eindeutigkeit und Stetigkeit jener Randwerte zugrunde legt. Unter dieser Voraussetzung über \(f\) wird mit Hülfe der Neumannschen Methode des arithmetischen Mittels das Dirichletsche Problem zunächst (wie auch im Lehrbuch) gelöst für eine stetig gekrümmte, gegen einen inneren Punkt konvexe Fläche \(\omega\). Mittels des alternierenden Verfahrens von Schwarz wird dann die Lösung zunächst ausgedehnt auf ein Raumgebiet, das von zwei stetig gekrümmten, gegen je einen Punkt konvexen Flächenstücken begrenzt wird. Endlich wird in ähnlicher Weise die Lösung für ein beliebiges Raumgebiet erhalten, das von einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter, gegen je einen inneren Punkt konvexer Flächenstücke begrenzt wird, sobald man nur jedes derselben zu einer geschlossenen, stetig gekrümmten, gegen einen inneren Punkt konvexen Fläche ergänzen kann, und falls nur die Flächenstücke unter von Null verschiedenen Winkeln zusammentreffen.
Abhandlung 2 betrifft das Dirichletsche Problem in der Ebene, das im zweiten Teile des Lehrbuchs für das Innen- und Außengebiet einer beliebigen geschlossenen, stetig gekrümmten Kurve \(\sigma\) ohne Singularitäten gelöst war. Hier wird gezeigt, daß die zur Lösung führende Methode auch dann noch anwendbar ist, wenn die Kurve sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Kurvenstücke ohne Singularitäten zusammensetzt, bei ganz beliebig vorgeschriebenen Randwerten \(f\), die der Bedingung genügen, daß das Kurvenintegral \[ W_0 =- \frac{1}{\pi} \int f\;\frac{\cos (r\nu)}{r}\;d\sigma \] (\(\nu\) innere Normale von \(d\sigma, r\) Abstand eines variablen Punktes von \(d\sigma\)) im ganzen Innengebiet sowohl, als auch im ganzen Außengebiet eindeutige und stetige erste Ableitungen besitzt, so lange man sich in irgend welcher, im übrigen beliebig kleiner Entferuung von den Trennungspunkten der Kurven hält, während in genügend kleiner Entfernung \(\varrho\) von denselben die Relationen erfüllt sein müssen: \[ \left| \varrho\;\frac{\partial W_0}{\partial h} \right| \overset{=} < a\varrho^{1- \lambda} \] (\(h\) eine beliebige Richtung, \(a\) eine endliche Konstante, \(\lambda\) ein positiver echter Bruch). Der Beweis führt zu dem wichtigen Schlusse, daß die Methode des arithmetischen Mittels auch auf beliebige mehrfach zusammmenhängende Gebiete anwendbar ist, sowie auch auf Teile einer beliebigen Riemannschen Fläche mit einer endlichen Anzahl von Blättern, und zwar braucht man über die Randwerte \(f\) lediglich die Voraussetzung der abteilungsweisen Eindeutigkeit und Stetigkeit zu machen, falls die Randkurven des Gebiets stetig gekrümmt sind, während für Randkurven, die sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Kurventeile zusammensetzen, die oben genannten Bedingungen für \(W_0\) hinreichend sind.
In Abhandlung 4, deren Studium (mit Ausnahme eines Abschnitts) der Verf., ebenso wie das von 5, dem der Abhandlung 3 voranzustellen empfiehlt, dehnt der Verf. seine Untersuchungen auf das Poincarésche Problem (vergl. F. d. M. 25, 1526 ff., 1893-1894, JFM 25.1526.01) aus, und zwar in folgender erweiterter Form. Es soll eine Funktion \(U\) bestimmt werden, die im Innern der Fläche \(\omega\) der Gleichung \[ \varDelta U + k\varphi^2 U=f \] genügt (\(f\) und \(\varphi\) zwei abteilungsweise eindeutige und stetige Funktionen des Innenraumes von \(\omega\)), während an \(\omega\) selbst \(U=0\) wird. Alle auf die Lösung des Problems bezüglichen Fragen: Existenz, Eindeutigkeit der Lösungen, Existenz einer Zahlenreihe \(k_1, k_2, \dots, k_j, \dots\), für welche die Lösungen ausarten, und denen Funktionen \(U_j\) von der Beschaffenheit \[ \varDelta U_j + k_j \varphi^2 U_j =0 \] im Innern von \(\omega\), \(U_j =0\) an \(\omega\) (Poincarés harmonische Funktionen) entsprechen, beruhen vor allem auf dem Beweise eines Hülfssatzes, der von Poincaré (vergl. F. d. M. 25, Satz a) S. 1528, siehe JFM 25.1526.01) nur für überall konvexe Flächen oder Flächen von solcher Beschaffenheit bewiesen war, daß ihr Innenraum in Teilräume von überall konvexer Begrenzung zerlegt werden kann. Durch die Zerlegung in Elemente mit Grenzflächen, welche gegen einen inneren Punkt konvex sind, gelingt die Verallgemeinerung des Poincaréschen Satzes. Ferner werden in dieser Abhandlung die Bedingungen erörtert, unter denen sich eine Funktion \(F\) der Stelle des Innenraums von \(\omega\) in eine nach harmonischen Funktionen fortschreitende Reihe entwickeln läßt.
In Abteilung 5 wird kurz angedeutet, wie die Untersuchungen von Abteilung 4 auf Außenräume übertragen werden können; sodann wird folgende Randwertaufgabe behandelt. Es wird eine Funktion \(U\) gesucht, die im Innen- und Außenraume der Fläche \(\omega\) der Gleichung \(\varDelta U=0\) genügt, während an \(\omega\) selbst \[ \frac{\partial U_a}{\partial \nu} - \frac{\partial U_i}{\partial \nu} = \lambda \left(\frac{\partial U_a}{\partial \nu} + \frac{\partial U_i}{\partial \nu} \right) -2f, \] \[ U_a = U_i \] ist. Dabei soll \(f\) eine gegebene, abteilungsweise eindeutige und stetige Funktion der Stelle auf \(\omega\), \(\lambda\) eine gegebene positive oder negative Zahl vorstellen. Auch hier handelt es sich um die Fragen nach der Existenz von \(U\), der Eindeutigkeit der Lösung, der Existenz von Zahlen \[ \lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_j, \dots, \] für welche die Lösungen ausarten, und denen Funktionen \(\varPhi_j\) von der Beschaffenheit \(\varDelta \varPhi_j =0\) im Innen- und Außenraum, \[ \frac{\partial \varPhi_{ja}}{\partial \nu} - \frac{\partial \varPhi_{ji}}{\partial \nu} = \lambda_j \left( \frac{\partial \varPhi_{ja}}{\partial \nu} + \frac{\partial \varPhi_{ji}}{\partial \nu} \right), \] \[ \varPhi_{ja} = \varPhi_{ji} \] an \(\omega\) (Poincarés Fundamentalfunktionen) entsprechen. Dieselbe Wichtigkeit, die für das in Abhandlung 4 behandelte Problem der Poincarésche Hülfssatz besitzt, hat hier ein Satz von Zaremba (vgl. das Referat S. 776, siehe JFM 32.0776.01) oder vielmehr eine von Korn herrührende Modifikation desselben. Die in Ableitung 5 geführte Untersuchung erlangt dadurch eine besondere Wichtigkeit, daß aus derselben gleichzeitig der Beweis der Konvergenz der Robinschen Reihe und damit auch die Gültigkeit der Neumannschen Methode des arithmetischen Mittels für ganz beliebige stetig gekrümmte Flächen gewonnen wird.
Abhandlung 3 endlich ist der zweiten und dritten Randwertaufgabe der Potentialtheorie gewidmet. Die letztere lautet hier: Es ist \(U\) so zu bestimmen, daß \(\varDelta U=0\) im Innern von \(\omega\) \[ \frac{\partial U}{\partial \nu} + \lambda \varphi^2 U=f \] an \(\omega\) ist (für die zweite Randwertaufgabe ist nur \(\lambda =0\)). Die zu lösenden Fragen sind analog denen in den früheren Problemen. Die für spezielle Werte von \(\lambda\) ausgearteten Lösungen (für die nur 0 an Stelle von \(f\) tritt) werden hier als Le Roysche Fundamentalfunktionen bezeichnet. Auch dies Problem läßt sich leicht auf den Außenraum von \(\omega\) ausdehnen.
Schließlich gelingt (Abhandlung 4, Abschnitt 4) auch die Behandlung der Allgemeinsten Aufgabe: \[ \varDelta U+ k\varphi^2 U= f \] im Innen- und Außenraum von \(\omega\), \[ \frac{\partial U}{\partial \nu} + \lambda \varPhi^2 U =F \] an \(\omega\).