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Sur l’équilibre des plaques élastiques circulaires libres ou appuyées et celui de la sphère isotrope. (French) JFM 32.0804.02

Die Untersuchungen über das Gleichgewicht aufgelagerter und freier elastischer Platten kommen zum großen Teil darauf hinaus, eine Funktion zu finden, welche im Innern der Differentialgleichung \(\varDelta \varDelta (u)=0\) genügt, während am Rande zwei gewisse, aus den Ableitungen linear gebildete Größen vorgeschriebene Werte annehmen sollen. Jener Differentialgleichung genügt man, indem man setzt \(u=(\varrho^2 -R^2)U + V\), wo \(U\) und \(V\) harmonische Funktionen sind. Der Verf. bildet aus \(U\) und \(V\) sowie deren Ableitungen nach \(\varrho\) harmonische Funktionen, welche mit jenen Randausdrücken identisch werden und also an der Peripherie vorgeschriebene Werte haben. Damit sind aber auch die gebildeten Ausdrücke für die ganze Kreisfläche gegeben. Wenn eine Lösung der Gleichung \(\varDelta \varDelta u = f\) gefunden werden soll, bedarf man einer Funktion \(v\), welche der Gleichung \(\varDelta \varDelta v =0\) genügt und an einer Stelle in gegebener Weise unendlich wird. Die Bestimmung dieser Hülfsfunktion bildet den Schluß der Untersuchungen über den Kreis.
Bezüglich der Kugel handelt es sich um die Aufgabe, daß die Normalverrückung an der Oberfläche gegeben ist, und daß die Druckkräfte dort senkrecht zur Oberfläche stehen. Die Aufgabe kommt zurück auf die Bestimmung von vier harmonischen Funktionen, zwischen denen vier Gleichungen bestehen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML