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On the invariants of quadratic differential forms. (English) JFM 33.0122.01
Der Verf. bestimmt auf Grund der Lieschen Theorie der kontinuierlichen Gruppen die Anzahl der Invarianten einer allgemeinen quadratischen Differentialform in \(n\) Variabeln.
Die Form sei \(\varPhi\equiv \varSigma\varSigma a_{ik}(x_1, \dots, x_n)dx_idx_k\) von nicht identisch verschwindender Determinante \(a=|a_{ik}|\). Die \(a_{ik}\) nebst ihren partiellen Ableitungen irgend einer Ordnung werden als stetige Funktionen der \(x\) vorausgesetzt. Die Form \(\varPhi\) wird der unendlichen Gruppe \(G\) aller Punkttransformationen unterworfen, die durch die infinitesimale Transformation \[ (1) \quad Xf\equiv \sum_1^n \xi_r(x_1, \dots, x_n) \frac{\partial f}{\partial x_r} \] erzeugt werden. Von den \(\xi\) gilt dieselbe Voraussetzung wie von den \(a_{ik}\); im übrigen seien sie willkürlich. Die Gruppe \(G\) soll überdies alle Transformationen in der Nachbarschaft der identischen \((x_i'=x_i)\) enthalten.
Sind \(x_i'\) die neuen Variabeln, so gehe \(\varPhi\) über in: \[ \varPhi'\equiv \sum\sum a_{ik}'(x_1', \dots, x_n') dx_i'dx_k', \] wo \[ (2) \quad a_{ik}=\sum\sum a_{rs} \frac{\partial x_i}{\partial x_r'}\;\frac{\partial x_k}{\partial x_s'}\,. \] Eine “Invariante” \(I\) von \(\varPhi\) ist eine solche Funktion der \(x\), der \(a_{ik}\) und ihrer Ableitungen, die ihren Wert nicht ändert, wenn die \(x\) und \(a_{ik}\) durch die \(x'\) und \(a_{ik}'\) ersetzt werden. die “Ordnung” von \(I\) ist die Ordnung der höchsten in ihr auftretenden Ableitung.
Das Hauptergebnis der Untersuchung ist, daß eine Form \(\varPhi\) \[ I_{n2}=\frac{1}{12}\;(n-2)(n-1)n(n+3) \] Invarianten von der Ordnung 2 besitzt und \[ I_{n\mu}=n\;\frac{\mu-1}{2}\;\frac{(n+\mu-1)!}{(n-2)!(\mu+1)!} \] Invarianten von einer Ordnung \(\mu>2(n\geqq 3)\). Die letztere Formel gilt auch für \(\mu>3\), wenn \(n=2\).
Die fragliche Anzahl ist gleich der der unabhängigen Lösungen vollständiger Systeme homogener linearer partieller Differentialgleichungen der ersten Ordnung, denen die Invarianten genügen müssen, d. i. gleich dem Überschußder Zahl der Variabeln über die Zahl der unabhängigen Gleichungen. Die letztere Anzahl aber wäre direkt durch die Berechnung von Determination der zugehörigen Matrix zu ermitteln. Die große Zahl der Gleichungen und ihre komplizierte Gestalt lassen indessen diese Methode als unzweckmäßig erscheinen. Der Verf. entwickelt daher eine spezifische Methode, die dem Typus der in Rede stehenden Gleichungen angepaßt. die Aufgabe wird zunächst zurückgeführt auf die Bestimmung der Unabhängigkeit von Gleichungen zweier verschiedenen Systeme. Jede dieser Bestimmungen gründet sich auf das Verfahren der vollständigen Induktion. Durch geeignete Vertauschungen der Variabeln und die Verwendung spezieller Formen \(\varPhi\) erhält man die gewünschte Anzahl.
Nach der Lieschen Methode ist zuvörderst die Gruppe \(Xf\) zu erweitern. Daraus ergeben sich die linearen partiellen Differentialgleichungen, denen alle Invarianten von einer Ordnung \(\leqq \mu\) zu genügen haben. Der Bau dieser Gleichungen ist derart, daß man die Gleichungen der Ordnung \(\mu+1\) erhält, indem man die Gleichungen der Ordnung \(\mu\) um gewisse Terme vermehrt und ihnen gewisse Gleichungen hinzufügt. Die letzteren heißen die “Endgleichungen” der Ordnung \(\mu\).
Mit Hülfe des Satzes: “Wenn alle Gleichungen der Ordnung \(\mu-1\) unabhängig sind und desgleichen alle Endgleichungen der Ordnung \(\mu\), so sind auch alle Gleichungen der Ordnung \(\mu\) unabhängig”, zerlegt sich die Frage nach der Unabhängigkeit in zwei Hülfsprobleme: 1. die Bestimmung der Unabhängigkeit der Endgleichungen einer allgemeinen Ordnung \(\mu\); 2. die Festlegung einer Ordnung \(\mu\), für die alle Gleichungen unabhängig sind.
Für \(n\geqq 3\) sind alle Gleichungen der Ordnung 2 unabhängig, für \(n=2\) alle von der Ordnung 3. Es wird nun bewiesen, daß wenn die Endgleichungen einer Ordnung \(\mu+1\) nicht alle unabhängig sind, auch die der Ordnung \(\mu\) es nicht sein können. Da aber für die Ordnung \(\mu=1\) die Unabhängigkeit direkt nachweisbar ist, gilt sie allgemein.
Ähnlich wird in Hinsicht des zweiten Problems gezeigt, daß, wenn die Gleichungen der Ordnung 2 in \(n\) Variabeln unabhängig sind, sie es auch bei \(n-1\) Variabeln sind. Für \(n=3\) Variabeln läßt sich wiederum die Unabhängigkeit unmittelbar feststellen.
Da auf diese Weise die Unabhängigkeit der die Invarianten von \(\varPhi\) bestimmenden Differentialgleichungen allgemein erhärtet ist, so ist die Anzahl der Invarianten stets gleich dem Überschuß der Zahl der Variabeln über die Zahl der Gleichungen und läßt sich daher nach arithmetischer Rechnung durch das oben angegebene Gesetz festlegen.
Im Falle \(\mu=0\) und \(\mu=1\) besitzen die fraglichen Differentialgleichungen keine gemeinsamen Lösungen.

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