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Das simultane System von zwei quadratischen quaternären Formen. (German) JFM 33.0130.02
Es ist dem Verf. gelungen, vermöge geeigneter Weiterbildung seiner symbolischen Methoden die früher anscheinend unüberwindliche Aufgabe zu erledigen, das volle simultane Invariantensystem von zwei quadratischen quaternären Formen explizite aufzustellen.
Man hat im Raume Punktkoordinaten \(x\), Linienkoordinaten \(p\) und Ebenenkoordinaten \(u\) zu unterscheiden. Das Invariantensystem der quadratischen quaternären Form \(f=a_x^2=a_{1,x}^2=\dots\) besteht, wie man weiß, aus den Formen \(a_x^2, (aa, p)^2, (aa_1\; a_2u)^2, (aa_1a_2a_3)^2\). Das simultane System zweier Formen \(f=a_x^2, g=b_x^2\) ist durch Überschiebung der beiden Einzelsysteme zu bilden. Sind \(V, W\) Produkte der Invarianten der letzteren, so hat man das Produkt \(VW\) dem Faltungsprozeß zu unterwerfen, derart, daß man die symbolischen Faktoren \(a_x\), \((aa_1 \; p), (aa_1\; a_2\; u)\) von \(V\) mit den symbolischen Faktoren \(b_x, (bb_1 \; p), (bb_1\;b_2\;u)\) von \(W\) faltet. Während aber bei den binären und ternären Formen nur die Faltung von Faktorenpaaren vorkommt, treten hier auch noch solche Faltungen auf, bei denen drei Faktoren beteiligt sind.
Hierdurch ist man imstande, die Invarianten \(I\) des simultanen Systems in sechs Klassen \(I^{(1)}, \dots, I^{(6)}\) einzuteilen.
Die Anzahl der Individuen in den einzelnen Klassen ist bezw. 21, 23, 186, 134, 134, 82, sodaß das volle simultane System von \(f\) und \(g\) 580 Formen enthält.
Um nunmehr auf die Einzelheiten einzugehen, so stützt sich die Entwickelung auf eine Reihe von Hülfssätzen, wonach, wenn eine homogene Funktion von Variabeln \(x\) gewissen partiellen Differentialgleichungen genügt, sie sich als ganze Funktion von speziellem Typus darstellen läßt.
Genügt z. B. F, wenn die \(x\) in ihr nur in den Verbindungen \(r_{\varrho 1}x_{\sigma 1}+r_{\varrho^2}x_{\sigma 2}+ \dotsm+ r_{\varrho \nu}x_{\sigma \nu}=r_{\varrho }x_{\sigma }\) vorkommen, den Relationen \(\frac{\partial F}{\partial x_{k1}}\,x_{\lambda 1}+ \frac{\partial F}{\partial x_{k2}}\,x_{\lambda 2}+ \dotsm +\frac{\partial F}{\partial x_{k\nu}}\,x_{\lambda \nu}=0\), so besitzt sie die Form \(F=(x_1, x_2, \dots, x_{\nu}^p F_1\), wo \(F_1\) eine ganze Funktion der Determinanten \((r_{\mu 1} r_{\mu 2}\dots r_{\mu \nu})\) ist. Aus diesen und verwandten Sätzen läßt sich folgern, daß eine Invariante der \(x, p, u\) die symbolischen Faktoren nur in ganz bestimmten Aggregaten enthält.
Die simultanen Invarianten \(I\) von \(a_x^2\) und \(b_x^2\) sind Aggregate symbolischer Produkte \(P\), die aus den Faktoren \[ a_x, b_x, (aa_1p), (abp), (bb_1p), (aa_1\; a_2u), (aa_1 \; bu), (abb_1\; u), \]
\[ (bb_1\;b_2u), (aa_1\;a_2a_3),(aa_1\; a_2b), (aa_1\;bb_1), (abb_1\;b_2), (bb_1\; b_2 \; b_3) \] zusammengesetzt sind. Um die \(P\) zweckmäßig zu ordnen, werden gewisse in ihnen vorkommende Zahlen als “Charaktere” eingeführt. So ist \(o_1, o_2\) der Grad von \(P\) in den Koeffizienten von \(f\), resp. \(g\); \(c_{1\nu}, c_{2\nu}\) ist die Anzahl der Faktorenpaare \(hh_1\) von \(P\), in denen \(h\) und \(h_1\) die Symbole \(a_1, a_2, \dots, a_{\nu}\), resp. \(b_1, b_2, \dots, b_{\nu}\) gemein haben. Steht dann \(P_1\) vor \(P_2\), so heißt \(P_1\) “einfacher” als \(P_2\). Ist ein \(P\) als ganze Funktion von einfacheren ausdrückbar, heißt es “reduzibel”. Sind alle Formen \(P\), die einen gewissen symbolischen Faktor gemein haben, reduzibel, so wird der Faktor “Reduzent” genannt; z. B. \(u_{\alpha}v_{\alpha_1}-u_{\alpha_1}v_{\alpha}, u_{\beta}-v_{\beta_1}-u_{\beta_1}-v_{\beta}.\) Irreduzible Produkte \(P_1P_2\) heißen “äquivalent”, wenn keines einfacher als das andere und \(P_1-P_2\) einfacher als \(P_1\) und \(P_2\) ist. Alle mit \(P\) äquivalenten Produkte bilden eine Gruppe äquivalenter Formen; es genügt, von ihnen eine einzige als Repräsentanten zu kennen.
Es wird nun eine Reihe von Kriterien für reduzible Formen \(P\) aufgestellt. Statt der ursprüglichen Symbole werden die “näturlichen”: \(a_x\), \((a_1 a_2 p), (a_1 a_2 a_3 u), (a_1 a_2 a_3 a_4)\) nebst den entsprechenden für \(g\) eingeführt, wodurch eine wesentliche Vereinfachung erzielt wird. Wegen weiterer Einzelheiten der umfangreichen Rechnungen mußauf die Arbeit verwiesen werden.

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