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Sur la forme canonique des substitutions linéaires. (French) JFM 33.0137.03
Der Verf. legt den bekannten Satz zugrunde: “Liegt eine binäre Substitution \(S=(\alpha_{ik})\) in den Variabeln \(x_1, \dots, x_n\) vor, so lassen sich kanonische neue Variabeln \(y\) (als lineare Formen der alten) so einführen, daß \(S\) in eine Anzahl von Teilsystemen zerfällt, sodaß im ersten Systeme \(y_1, \dots, y_m\) ersetzt werden durch \[ s_i y_1, \dots, s_i (y_{\mu}+y_{\mu-1}), \dots, s_i(y_m+y_{m-1}), \] etc. Hier bedeutet \(s_i\) eine Wurzel der charakteristischen Gleichung von \(S\), \(\varDelta_{\alpha}=0\); es sind so viele Teilsysteme da, als verschiedene Wurzeln \(s_i\), und die Zahl der Variabeln \(y\) eines jeden Teilsystems gibt die Vielfachheit der zugehörigen Wurzel \(s_i\) an.” Sei jetzt \(C\) der Körper, der entsteht, wenn man die \(\alpha_{ik}\) dem Körper der rationalen Zahlen, resp. dem Körper der Zahlen \(0, 1, \dots, p-1\text{\,mod.\,}p\) (\(p\) Primzahl) adjungiert; weiter gehe \(C\) durch Adjunktion einer Wurzel \(s_i\) von \(\varDelta_{\alpha}\) in \(C_i\) über. Dann werden die Modifikationen untersucht, die der obige Satz erledigt, wenn die Zerlegung von \(\varDelta_{\alpha}\) in Faktoren erfolgt, die im Körper \(C\) irreduzibel sind, und wenn die Koeffizienten der \(x\) in \(y_i\) dem Körper \(C_i\) angehören sollen.
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Full Text: Numdam EuDML