A definition of abstract groups. (English) JFM 33.0142.01

Moore, E. H.

Trans. Am. Math. Soc. 3, 485-492 (1902).

Verf. definiert eine Gesamtheit \(G\) von Elementen, die sich unter einander komponieren lassen, als Gruppe, wenn von ihnen die folgenden fünf Postulate erfüllt werden:
1. Das Produkt \(a\cdot b\) zweier beliebigen Elemente aus \(G\) gehört \(G\) an.
2. Für irgend drei Elemente \(a, b, c\) aus \(G\) gilt das assoziative Gesetz \(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\).
\(3_l\). Es existiert in \(G\) ein Element \(e_l\) (linkshändiges Einheitselement), sodaßfür jedes Element \(a\) aus \(G\) \(e_l\cdot a=a\) ist.
\(3_r\). Es existiert in \(G\) ein Element \(e_r\) (rechtshändiges Einheitselement), sodaßfür jedes Element \(a\) aus \(G\) \(a\cdot e_r=a\) ist.
\(4_l\). Wenn ein (rechsthändiges Einheitselement) \(e_r\) existiert, so soll zu jedem Elemente \(a\) aus \(G\) ein Element \(a_l'\) existieren, sodaß\(a_l'\cdot a=e_r\) ist.
Die angegebenen fünf Postulate sind, wie Moore zeigt, von einander unabhängig und bleiben es auch noch, wenn man hinzufügt, \(G\) soll nur eine bestimmte endliche Anzahl, jedoch mehr als zwei verschiedene Elemente enthalten. Verf. vergleich seine Definition einer Gruppe mit den beiden von Huntington (vergl. die zwei folgenden Referate, siehe JFM 33.0142.02 und JFM 33.0143.01) durch drei, bez. vier unabhängige Postulate gegebenen Definitionen sowie mit der von H. Weber in seiner Algebra, Bd. 2. Ferner gibt Moore auf Grund von sechs unaghängigen Postulaten, indem er \((3_l)\), \((3_r)\) und \((4_l)\) durch vier Postulate ersetzt, eine von der obigen etwas verschiedene Gruppendefinition. Anstelle von \((4_l)\) kann auch das Postulat \((4_r)\): \(a\cdot a_r'=e_l\) von der Existenz von \(a_r'\) eingeführt werden. dieses Postulat \((4_r)\) ergibt sich aus den oben angegebenen fünf Postulaten als beweisbarer Lehrsatz, und man beweist auch, daß\(a_r'=a_l'\) ist.

Reviewer: Loewy, Prof. (Freiburg i. B.)

MSC:

20-XX

Group theory and generalizations

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen und Gruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppentheorie.

Citations:

JFM 33.0142.02; JFM 33.0143.01