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On the group defined for any given field by the multiplication table of any given finite group. (English) JFM 33.0150.01

Die vorliegende Arbeit ist der Frobeniusschen Theorie der Gruppendeterminante (Berl. Ber. 1896, 1343-1382; 1897, 994-1015; F. d. M. 27, 94, 1896, JFM 27.0094.01; 28, 130, 1897, JFM 28.0130.01) gewidmet. Sie knüpft im besonderen an W. Burnsides Untersuchungen “On the continuous group that is defined by any given group of finite order” (London M. S. Proc. 29; F. d. M. 29, 103, 1898, JFM 29.0103.03) an und berichtigt auch diese. (Vergl. auch hierzu W. Burnside, London M. S. Proc. 35, 206, die Anmerkung). Während Burnside jeder endlichen abstrakten Gruppe \(g\) eine endliche kontinuierliche Transformationsgruppe zuordnet und mit Lies Theorie der Transformationsgruppen operiert, ordnet Verf. der Gruppe \(g\) eine lineare homogene Substitutionsgruppe \(G\) mit Koeffizienten aus irgend einem Körper (Feld) \(F\) zu. Ist \(F\) der Körper aller reellen und imaginären Zahlen, so ist \(G\) identisch mit der von Burnside betrachteten Gruppe. Verf. führt die Untersuchung algebraisch, ohne Benutzung der Lieschen Theorien, so daßsie für jedes \(F\) gültig ist. Ausgeschlossen wird nur, daß wenn \(F\) ein Galoissches Feld ist, sein Modul ein Teiler der Ordnung von \(g\) ist. Wie bei Frobenius (Zerlegung der Gruppendeterminante) und bei Burnside (vergl. die Referate) handelt es sich vorzüglich um die Zerlegung der Gruppe \(G\) in ds Produkt linearer homogener Substitutionsgruppen, die hier mit allgemeinen linearen homogener Substitutionsgruppen mit Koeffizienten aus Körpern, die aus \(F\) durch Adjunktion hervorgehen, holoedrisch isomorph sind. In engstem Zusammenhange mit der Betrachtung von \(G\) steht die Frage der Konstruction einer zu \(g\) isomorphen Substitutionsgruppe mit Koeffizienten aus einem gegebenen Körper in der geringsten Variablenzahl. (Verallgemeinerung des von F. Klein sogenannten Normalproblems.)

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