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The hyperorthogonal groups. (English) JFM 33.0151.02
Als hyperorthogonale Gruppe definiert Verf. in der vorliegenden Arbeit eine Gruppe \(H_{m, p, s}\) der Ordnung \[ O_{m,p,s}=[p^{sm}-(-1)^m]p^{s(m-1)}[p^{s(m-1)}- (-1)^{m-1}]p^{s(m-2)} \dots \dots (p^{2s}-1)p^s; \] sie wird gebildet von allen linearen homogenen Substitutionen der Determinante \(+1\) in \(m\) Variablen, die Koeffizienten aus einem Galoisschen Felde der Ordnung \(p^{2s}\) haben und die Funktion: \[ \xi_1^{p^s+1}+\xi_2^{p^s+1}+\dotsm+\xi_m^{p^s+1} \] invariant lassen. In seinem Buche “Linear groups with an exposition of the Galois field theory (Leipzig 1901)” bezeichnet Verf. übrigens die Gruppe der Ordnung \(\varOmega_{m,p,s}=(p^s+1).O_{m,p,s}\), von welcher die hier vorliegende Gruppe. (Vergl. auch das Referat in den F. d. M. 30, 1899, 140 u. 141, JFM 30.0140.01). Die Arbeit knüpft an des Verf. Untersuchungen in den Math. Ann. 52 an, auf deren Besprechung auch eben verwiesen wurde. Verf. zeigt von der Gruppe \(H_{m,p,s}\), daß sie sukzessive Allgemeinheit hat, eine Eigenschaft, die er auch schon früher behandelt hat (F. d. M. 32, 135, 1901, JFM 32.0134.03). Die Gruppe \(H_{m, p, s}\) sowie die einfache Gruppe linear gebrochener Substitutionen, die aus ihr entspringt, werden als transitive Permutationsgruppen dargestellt. Der Hauptteil der Arbeit ist der Untersuchung der charakteristischen Gleichung einer hyperorthogonalen Substitution, der hierauf beruhenden Reduktion hyperorthogonalen Substitutionen in kanonische Formen, die ebenfalls der hyperorthogonalen Gruppe angehören, und ihrer Verteilung in Klassen konjugirter Substitutionen gewidmet.

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References:
[1] Math. Ann., 52, pp. 561-581. It will be referred to by page or section.
[2] Annalen, top of p. 579, wherem=3 should readm?3.
[3] American Journal of Math., Vol. XXIII, pp. 337-377.
[4] Dickson,Quarterly Journal, July, 1899;Proc. Lond. Math. Soc., Vol. XXX, p. 200.
[5] Mathematische Annalen Vol. 52, pp. 573-580.
[6] Annalen, p. 568;Proc. Lond. Math. Soc., Vol. 31, p. 39, foot-note.
[7] Proc. Lond. Math. Soc., Vol. 31;Comptes Rendus, Vol. 128, p. 873.
[8] Bull. Amer. Math. Soc., May 1900, pp. 323-8.
[9] American Journal, Vol. 23, pp. 337-377.
[10] American Journal of Mathematics, vol. XXI, p. 224.
[11] Annalen, p. 574 forp>2; p. 575 and top of p. 576 forp=2.
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