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Linear groups in an infinite field. (English) JFM 33.0152.01

Der vorliegende Aufsatz ist inhaltlich eine Fortführung der Untersuchungen des Verf. in den American M. S. Trans. 2, 363-394 (F. d. M. 32, 131, 1901, JFM 32.0131.03). \(F\) bedeute irgend einen beliebigen Rationalitätsbereich oder nach Bezeichnung der amerikanischen Mathematiker ein Feld, d. h. ein derartig vollständiges System von Elementen, daßes durch Ausführung der rationalen Operationen der Algebra nicht erweiterungsfähig sei. \(F\) möge nur insofern beschränkt sein, daßes ein Element \(\nu\) enthält, das nicht in \(F\) Quadrat ist, und daß wenn \(F\) durch einen Modul definiert ist, dieser nicht den Wert 2 habe. \(Q\) sei das aus \(F\) durch Adjunktion einer Wurzel \(J\) der in \(F\) irreduziblen Gleichung \(x^2=\nu\) hervorgehende Feld. Die Elemente von \(Q\) sind daher von der Form \(q=\alpha+\beta J\), wobei \(\alpha\) und \(\beta\) dem Felde \(F\) angehören. Unter \(\overline{q}\) sei die zu \(q=\alpha+\beta J\) konjugirte Größe \(\alpha-\beta J\) verstanden.
Verf. untersucht die Gruppe linearer homogener Substitutionen der \(2m\) Variablen \(\xi_i, \eta_i\) \((i=1, 2, \dots, m)\) mit Koeffizienten aus \(Q\), die mit den zu ihnen konjugirten Substitutionen die Form: \[ \sum_{i=1}^{i=m} (\xi_i\overline{\eta}_i-\eta_i\overline{\xi}_i \] absolut invariant lassen; die Gesamtheit dieser Substitutionen bildet die hyperabelsche Gruppe. [Die Bezeichnung ist auch im Einklang mit Dicksons Buch “Linear groups with an exposition of the Galois field theory” (1901); die Invariante, welche dort auf S. 115 die hyperabelsche Gruppe definiert, läßt sich, da die dortigen \(\xi^{p^n}\) und \(\xi\) konjugiert sind, in die obige Form bringen.] Die Untergruppe dieser hyperabelschen Gruppe, die durch die Substitutionen der Determinante \(+1\) gebildet wird, hat, wie Verf. beweist, \(\xi_i'=\mu\xi_i\), \(\eta_i'=\mu\eta_i'\) \((\mu^{2m}\neq 1, \mu\overline{\mu}=1)\) zur größten invarianten Untergruppe. Hieraus folgt, daßdie Gruppe, die aus den linear gebrochenen hyperabelschen Substitutionen der Determinante \(+1\) besteht, für jedes Feld \(Q\) eine einfache Gruppe ist.
Mit der quaternären hyperabelschen Gruppe, deren Substitutionen Koeffizienten aus \(Q\) haben, hängt diejenige Gruppe in sechs Variablen auf das engste zusammen, deren Substitutionen die quadratische Form \[ \xi_0^2-\nu\eta_0^2+\xi_1\eta_1+\xi_2\eta_2+\dotsm+\xi_m\eta_m \] absolut in sich transformieren. Es wird hierbei angenommen, daß\(\nu\) wohl \(F\) angehört, aber kein Quadrat eines Elementes aus \(F\) ist. Ist \(\nu\) ein Quadrat aus \(F\), so ist die quadratische Form nämlich reduzierbar auf \(x_0y_0+\xi_1\eta_1+\xi_2\eta_2+\dotsm+\xi_m\eta_m\), und die zu dieser Form gehörige Gruppe hat Verf. bereits früher (F. d. M. 32, 132, 1901, JFM 32.0131.03) untersucht. Das Studium der in der vorliegenden Arbeit untersuchten Gruppe \(G\) in \(2m+2\) Variablen kann anschließend an das der senären Gruppe, die \[ \xi_0^2-\nu\eta_0^2+\xi_1\eta_1+\xi_2\eta_2 \] invariant läßt, durchgeführt werden.

Citations:

JFM 32.0131.03
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