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A class of simply transitive linear groups. (English) JFM 33.0153.01

“Bei der Erforschung der Gruppe, welche für jedes gegebene Feld durch die Multiplikationstafel einer beliebigen gegebenen Gruppe definiert wird, ist es notwendig, die Typen einfach transitiver, linearer, homogener Gruppen \(G\) zu erörtern, deren Transformationen in der Form gegeben werden können: \[ \begin{aligned} & \xi_1'=\eta_1\xi_1,\;\xi_2'=\eta_2\xi_1+\eta_1\xi_2,\;\xi_3'=\eta_3\xi_1+\alpha\xi_2+\eta_1\xi_3,\\ & \xi_4'=\eta_4\xi_1+\beta\xi_2+\gamma\xi_3+\eta_1\xi_4, \\ & \xi_5'=\eta_5\xi_1+\lambda\xi_2+\mu\xi_3+\nu\xi_4+\eta_1\xi_5, \dots \end{aligned} \] Hier sind \(\eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4, \eta_5, \dots\) unabhängige Parameter, während \(\alpha, \beta, \gamma, \lambda, \dots\) lineare homogene Funktionen der \(\eta_i\) sind. Burnside war zu dem irrigen Schlusse geführt worden, daßjede solche Gruppe eine Abelsche Gruppe ist” (F. d. M. 29, 103-105, 1898, JFM 29.0103.03). Der Verf. weist an dem besonderen Falle von \(n=3, 4, 5\) Variabeln das wahre Sachverhältnis nach. Während für \(n=3\) die Gruppe in der Tat eine Abelsche ist, braucht dies für \(n=4\) und 5 nicht zu gelten, wo besondere Bedingungen zu diesem Behufe zu erfüllen sind. Die Stelle des Beweises von Burnside, wo der Fehlschlußgemacht ist, wird genau bezeichnet.

Citations:

JFM 29.0103.03
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