Determination of all the groups of order \(p^m, p\) being any prime, which contain the abelian group of order \(p^{m-1}\) and of type \((1, 1, 1, \dots)\). (English) JFM 33.0156.01

Miller, G. A.

American M. S. Bull. (2) 8, 391-394 (1902).

Es sei \(\vartheta\) die Gruppe der Isomorphismen der Abelschen Gruppe \(H\) vom Typus \((1, 1, 1, \dots)\), deren unabhängige “Generatoren” \(t_1, t_2, \dots, t_{m-1}\) sind. Eine ihrer Untergruppen \(\vartheta_1\) von der Ordnung \(p^{\frac 12(m-1)(m-2)}\) wird aus allen Operatoren von \(\vartheta\) gebildet, die den Holomorphismen von \(H\) entsprechen, in welchen \(t_{\alpha}\) \((\alpha=2, 3,\dots, m-1)\) sich selbst entspricht, multipliziert mit irgend einem Operator in der durch \(t_1, t_2, \dots, t_{\alpha-1}\) erzeugten Gruppe. Hierüber gilt folgender Satz: Wenn \(h_1=p^{\lambda}\), so ist die Anzahl solcher Systeme cyklischer Untergruppen von \(\vartheta_1\), bei denen jedes System ein vollständiges System von Konjugirten unter \(\vartheta\) umfaßt, gleich der Anzahl der Partitionen von \(\lambda\) bezüglich der Addition, wenn die Anzahl der Addenden \(m-1-\lambda\) nicht übersteigt. Hieraus werden verschiedene Folgerungen gezogen.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen und Gruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppentheorie.