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L’équation finale. (French) JFM 33.0173.01

Der Verf. gibt eine in manchen Punkten weiter führende Darstellung der Eliminationstheorie. Die Abhandlung wird in drei Kapitel gegliedert. Kapitel I behandelt die Elimination aus zwei homogenen Gleichungen in drei Variabeln, Kapitel II die aus \(n\) homogenen Gleichungen in \(n+1\) Variabeln, endlich Kapitel III die Elimination aus \(n\) homogenen Gleichungen in \(n+n_1\) Variabeln.
Allgemein versteht der Verf. unter équation finale (Endgleichung, Eliminante) das Resultat der Elimination von \(n-1\) Variabeln aus \(n\) homogenen Gleichungen in \(n+n_1\) Variabeln.
Behufs Ausführung der Elimination multiplizierte man die \(n_1+1\) Variabeln, die in der Endgleichung verbleiben sollen, mit irgend einem Faktor, den man als eine neue Hülfsvariable einführe. Ordnet man dann die gegebenen Gleichungen nach den \(n\) übrigen Variabeln, so ergeben sich \(n\) homogene Gleichungen, deren Koeffizienten homogene Funktionen der obigen \(n_1+1\) Variabeln sind. Der Grad der Koeffizienten in ihren Variabeln ist gleich dem bezüglichen Exponenten der Hülfsvariabeln.
Eliminiert man nunmehr jene \(n\) Variabeln, so erscheint die Endgleichung als Resultate der Gleichungen. Sind die Gleichungen resp. von den Graden \(g_1, g_2, \dots, g_n\), so ist die Resultante eine homogene Funktion der Koeffizienten vom Grade \[ g_1\cdot g_2 \cdots g_n \sum\;\frac{1}{g_i}, \] während der Grad in bezug auf die Koeffizienten z. B. der ersten Gleichung gleich \(g_2g_3\dots g_n\) ist. Hinsichtlich der übrig bleibenden Variabeln ist die Resultate vom Grade \(g_1g_2\dots g_n\), wie auf Grund des Gewichtes der Resultate gezeigt wird.
Man kann die Resultante auch nach den aufeinander folgenden Argumenten einer homogenen Funktion der \(n_1+1\) verbleibenden Variabeln entwickeln, wenn man sich der Bézoutschen Methode bedient.
Der Verf. gelangt im wesentlichen zu den seit Bézout bekannten Ergebnissen; seine Methode ist eine eigenartige und zur Anwendung auf einzelne Fälle wohlgeeignete. Es ist nur bedauerlich, daß dem Verf. die einschlägigen modernen Entwicklungen, vor allem von Kronecker, unbekannt geblieben zu sein scheinen.