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Theorems on the residues multinomial coefficients with respect to a prime modulus. (Theorems on the residues multinomial coefficients with respect to a prime modulus.) (English) JFM 33.0203.02

Verf. verallgemeinert einen von Glaisher (vergl F. d. M. 29, 152 bis 153, 1898, JFM 29.0152.05) für Binomialkoeffizienten aufgestellten Satz. Es bezeichne \((m_1, m_2, \dots, m_t)\) den Polynomialkoeffizienten \[ \frac{(m_1+m_2+\dotsm+m_t)!}{m_1!m_2!\dots m_t!}; \] \(k\) sei diejenige der Zahlen \(1, 2, \dots, p-1\), welcher \(m\) kongruent modulo \(p-1\) ist (\(p\) Primzahl); \(k_1, k_2, \dots, k_t\) seien feste Zahlen aus der Reihe \(1, 2, \dots, p-1\), für welche \(k_1+k_2+\dotsm + k_t\equiv k\) (mod. \(p-1\)) ist. Dann ist modulo \(p\) \[ \sum_{m_1, \dots, m_t} (m_1, m_2, \dots, m_t) \equiv \left\{ \begin{matrix} (k_1, k_2, \dots, k_t) & \text{für} & k_1+\dotsm+k_t=k, \\ 0 & \text{für} & k_1+\dotsm+k_t>k, \end{matrix} \right. \] wenn die Summe sich auf alle Wertsysteme \(>0\) erstreckt, für welche \(m_1+m_2+\dotsm+m_t=m, m_1\equiv k_1\) (mod. \(p-1\)), \(\dots, m_t\equiv k_t\) (mod. \(p-1\)) ist.

MSC:

11B65 Binomial coefficients; factorials; \(q\)-identities
05A10 Factorials, binomial coefficients, combinatorial functions

Citations:

JFM 29.0152.05
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