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On the exact integral solution of linear equations with arbitrary coefficients. (Sur la résolution exacte en nombres entiers des équations linéaires à coefficients quelconques.) (French) JFM 33.0207.03
Verf. versteht unter Normalreihe von Näherungswerten für die positive (rationale oder irrationale) Zahl \(a\) eine unendliche Folge von Brüchen \(\frac{m^{(1)}}{n^{(1)}}, \frac{m^{(2)}}{n^{(2)}}, \dots\) mit folgender Eigenschaft: Wird \[ a= \frac{m^{(\nu)}} {n^{(\nu)}}+ \frac{\varepsilon^{(\nu)}} {n^{(\nu)}} \] gesetzt, so ist \(\lim_{\nu=\infty}\varepsilon^{(\nu)}=0\). Daß eine solche Normalreihe stets vorhanden ist, folgt aus den einfachsten Eigenschaften der Kettenbrüche. Analog folgt aus einem bekannten Hermiteschen Satze, daß für \(p\) positive Zahlen \(a_1, \dots, a_p\) eine Normalreihe von Näherungswerthen existiert, d. i. eine endliche Folge von Systemen von \(p\) Brüchen mit folgender Eigenschaft: Wenn dem Index \(\nu\) die \(p\) Brüche \(\frac{m_1^{(\nu)}} {n^{(\nu)}}, \dots, \frac{m_p^{(\nu)}} {n^{(\nu)}}\) entsprechen und \[ a_1=\frac{m_1^{(\nu)}} {n^{(\nu)}}+ \frac{\varepsilon_1^{(\nu)}} {n^{(\nu)}}, \dots, a_p=\frac{m_p^{(\nu)}} {n^{(\nu)}}+ \frac{\varepsilon_p^{(\nu)}} {n^{(\nu)}} \] gesetzt wird, so ist \(\lim_{\nu=\infty} \varepsilon_1^{(\nu)}=0, \dots, \lim_{\nu=\infty} \varepsilon_p^{(\nu)}=0. \) Verf. beweist folgende Haupteigenschaft der Normalreihen: Wenn zwischen den \(p\) Zahlen \(a_1, \dots, a_p\) eine ganzzahlige lineare Relation besteht \(A_1a_1+\dotsm+A_pa_p+B=0\), so gilt dieselbe Relation zwischen den Brüchen jeder Normalreihe von einem gewissen Index an: \[ A_1\;\frac{m_1^{(\nu)}}{n^{(\nu)}}+\dotsm+ A_p\;\frac{m_p^{(\nu)}}{n^{(\nu)}}+B=0. \] Dann entwickelt er noch einen komplizierteren Satz ähnlicher Art, welcher in Zusammenhang mit dem Kroneckerschen (vergl. F. d. M. 16, 83-84, 1884, JFM 16.0083.02) Problem von der näherungsweisen Auflösung linearer Gleichungen steht; hierbei kommt es ja zuerst darauf an, die etwa vorhandenen genauen ganzzahligen linearen Gleichungen zwischen den Koeffizienten aufzufinden.
MSC:
11D04 Linear Diophantine equations
11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
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Full Text: DOI Numdam EuDML