Asymptotic determination of the \(n\)th prime. (La determinazione assintotica dell’ \(n^{\text{imo}}\) numero primo.) (Italian) JFM 33.0214.04

Cipolla, Michele

Napoli Rend. (3) 8, 132-166 (1902).

Wie zuerst de la Vallée Poussin (vergl. F. d. M. 30, 193-194, 1899, JFM 30.0193.03) bewiesen hat, wird die Anzahl der Primzahlen bis \(x\) durch den Integrallogarithmus von \(x\) mit solcher Genauigkeit dargestellt, daß die mit \(\frac{\log^r x}{x}\) multiplizierte Differenz bei jedem Wert von \(r\) für \(x=\infty\) gegen 0 konvergiert. Daraus folgt, indem man jenen Satz sukzessive auf die Fälle \(r=1, 2, 3,\dots\) anwendet, eine Reihe von unendlich vielen Relationen, in denen \(p_n\) die \(n\)te Primzahl bezeichnet und \(\varepsilon_n\) jedesmal eine solche Funktion von \(n\), das \(\lim_{n=\infty} \varepsilon=0\) ist: \[ \begin{aligned} & \frac{p_n}{n}=\log n +\log n\cdot \varepsilon_n,\\ & \frac{p_n}{n}=\log n +\log \log n-1+\varepsilon_n,\\ & \frac{p_n}{n}=\log n +\log \log n-1+\frac{\log\log n-2}{\log n}+ \frac{\varepsilon_n}{\log n}, \\ & \hdotsfor1 \end{aligned} \] allgemein: \[ \frac{p_n}{n}=\log n+\log \log n-1 + \sum_{i=1}^r(-1)^{i-1}\;\frac{f_i(\log\log n)}{i!(\log n)^i} + \frac{\varepsilon_n}{\log^r n}, \] wo \(f_i(\log\log n)\) eine ganze ganzzahlige Funktion von \(\log n\) bezeichnet. Verf. beschäftigt sich damit, die in der allgemeinen Relation auftretenden Zahlenkoeffizienten zu untersuchen, und leitet aus den Rekursionsformeln eine Reihe von Eigenschaften ab.
Im zweiten Teil will er analoge Sätze über die \(n\)-te Primzahl einer gegebenen arithmetischen Progression \(My+N\) aufstellen und glaubt die Richtigkeit einer analogen Formelreihe nachgewiesen zu haben. Doch enthält seine Beweisführung (auf S. 159 oben) eine Lücke, welche unter alleiniger Anwendung des (vom Verf. zitierten) de la Vallée Poussinschen Satzes \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\text{Anzahl der Primzahlen } My+N\leqq x}{\text{Li}(x)}= \frac{1}{\varphi(M)} \] gar nicht ausgefüllt werden kann, und ein weitergehender Satz über die Verteilung der Primzahlen einer arithmetischen Progression war zurzeit noch nicht bewiesen worden.

Reviewer: Landau, Dr. (Berlin)

MSC:

11N05

Distribution of primes

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

distribution of primes

Citations:

JFM 30.0193.03