On the zeta function belonging to an algebraic number field and generalization of the prime number theory of Tschebyschef to the problem of distribution of prime ideals. (Über die zu einem algebraischen Zahlkörper gehörige Zetafunktion und die Ausdehnung der Tschebyschefschen Primzahlentheorie auf das Problem der Verteilung der Primideale.) (German) JFM 33.0215.01

Landau, E.

J. für Math. 125, 64-188 (1902).

Es sei ein beliebiger algebraischer Zahlkörper \(\kappa\) zugrunde gelegt, und es bezeichne \(\zeta_\kappa(s)\) die analytische Funktion, welche durch die für \(\operatorname{Re}(s)>1\) konvergente Dirichletsche Reihe \(\varSigma_{\mathfrak n}\frac{1}{N{\mathfrak n}^s}\) definiert ist, wo \(\mathfrak n\) alle Ideale des Körpers durchläuft und \(N{\mathfrak n}\) die Norm von \(\mathfrak n\) bezeichnet. Die wichtigste der bisher bekannten Eigenschaften dieser analytischen Funktion bestand in dem Satze, daßbei Annäherung von rechts \(\lim_{s=1} (s-1)\varSigma_{\mathfrak n}\frac {1}{N{\mathfrak n}^s}\) existiert und von Null verschieden ist. Verf. fügt in der vorliegenden Arbeit eine Reihe analytischer Eigenschaften hinzu, welche auch für die zahlentheoretischen Anwendungen der Funktion nützlich sind. Es seien hier aus Abschnitt 1)-3) folgende Sätze angeführt: 1. Wenn \(k\) der Grad des Körpers \(\kappa\) ist, so ist \(\zeta_\kappa(s)\) über die Gerade \(\operatorname{Re}(s)=1\) hinaus mindestens bis zur Geraden \(\operatorname{Re}(s)=1-\frac 1k\) hin fortsetzbar und ist in der Halbebene \(\operatorname{Re}(s)>1-\frac 1k\) eine eindeutige analytische Funktion mit dem Pol erster Ordnung \(s=1\) als einziger singulärer Stelle. 2. Auf der Geraden \(\operatorname{Re}(s)=1\) hat diese Funktion keine Nullstelle, und es bleibt, wenn \(t\) positiv unendlich wird, das Produkt \(|\zeta_\kappa(1+ti)|\log^7t\) oberhalb einer positiven Schranke gelegen. 3. Das nach wachsenden Normen geordnete, über alle Primideale des Körpers erstreckte Produkt \(\prod_{\mathfrak p}\frac{1}{1-\frac{1}{N{\mathfrak p}^s}}\) konvergiert für \(\operatorname{Re}(s)=1\) (exkl. \(s=1\)) und hat auch dort den Wert \(\zeta_\kappa(s)\).
Hierauf folgen einige allgemeinere Betrachtungen über Dirichletsche Reihen. Im folgenden vierten Abschnitt dehnt Verf., einer von Poincaré in einer älteren Arbeit (vergl. F. d. M. 24, 171-172, 1892, JFM 24.0171.02) gegebenen Anregung folgend, die Tschebyschefschen Sätze über die Verteilung der Primzahlen auf den Fall eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers aus. Es handelt sich hier um Sätze von der Art des folgenden: \(\pi(x)\) bezeichne die Anzahl der Primideale des Körpers, deren Norm \(\leqq x\) ist; dann ist \[ \liminf_{x=\infty}\;\frac{\pi(x)\log x}{x}\leqq 1,\quad \limsup_{x=\infty} \;\frac{\pi(x)\log x}{x}\geqq 1. \] Dies ist auch ohne Anwendung der Dirichletschen Reihen leicht beweisbar. Abschnitt 5) behandelt die Analoga zu den klassischen Dirichlet-Mertensschen Problemen; es zeigt sich, daßgewisse in den asymptotischen Gesetzen der Idealtheorie auftretende Konstanten durch die \(\zeta_x\kappa\)-Funktion mit speziellen Argumenten ähnlich ausdrückbar sind wie in der elementaren Zahlentheorie durch die Riemannsche Zetafunktion. Der sechste Abschnitt enthält einen neuen Beweis der “Kroneckerschen Grenzformel”, und der siebente beschäftigt sich damit, die gegenseitige Abhängigkeit einiger neueren Sätze über die Verteilung der Primzahlen zu untersuchen.

Reviewer: Landau, Dr. (Berlin)

MSC:

11R42

Zeta functions and \(L\)-functions of number fields

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

analytic properties of the Dedekind zeta function; distribution of prime ideals; analogues of the problems of Dirichlet and Mertens; analogues of results on Riemann’s zeta function; Kronecker’s limit formula

Citations:

JFM 24.0171.02