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On periodic approximations of algebraic numbers. (Über periodische Approximationen algebraischer Zahlen.) (German) JFM 33.0216.02
Der Verf. stellt sich die Frage nach denjenigen algebraischen Zahlen, welche analoge periodische Approximationen besitzen, wie sie die reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades vermöge der Periodizität ihrer Entwickelungen in gewöhnliche Kettenbrüche aufweisen. In einer früheren Arbeit (Gött. Nachr. 1899; s. F. d. M. 30, 195, 1899, JFM 30.0195.02) hatte er folgendes Kriterium für algebraische Zahlen \(n\)-ten Grades aufgestellt: Es gibt zu jeder reellen Zahl \(r \geqq 1\) eine Substitution \[ (S) \quad x_h=s_h^{(1)}y_1+s_h^{(2)}y_2+\dotsm+s_h^{(n)}y_n \] mit ganzzahligen Koeffizienten, deren absolute Beträge, durch \(r\) dividiert, eine gewisse von \(r\) unabhängige Grenze nicht überschreiten, und mit einer von Null verschiedenen Determinante, welche absolut kleiner als \(n!\) ist; geht durch diese Substitution die mit der algebraischen Zahl \(\alpha\) gebildete Linearform \[ \xi=x_1+\alpha x_2+\alpha^2 x_3+\dotsm+\alpha^{n-1}x_n \] in \[ \xi=\varrho_1 y_1+\varrho_2 y_2+\dotsm+\varrho_n y_n \] über, so kommt für die Verhältnisse \(\varrho_1:\varrho_2:\dots :\varrho_n\) von vornherein nur eine endliche Zahl verschiedener und von \(r\) unabhängiger Wertsysteme in Betracht, und wenn \(l=1\) oder \(=2\) gesetzt wird, je nachdem die algebraische Zahl \(\alpha\) reell oder komplex ist, so liegen die absoluten Beträge von \(\varrho_1 r^{\frac{n-l}{l}}, \varrho_2 r^{\frac{n-l}{l}}, \dots, \varrho_n r^{\frac{n-l}{l}}\) unter einer gewissen von \(r\) unabhängigen Grenze. Bildet man für eine Reihe unbegrenzt wachsender Zahlen \(r\) eine Kette von Substitutionen \(S_1, S_2, S_3, \dots\), so wird dieselbe periodisch genannt, wenn die daraus abgeleitete Reihe von Substitution: \[ Q_1=S_1^{-1}S_2, \; Q_2=S_2^{-1}S_3, \; Q_3=S_3^{-1}S_4, \; \dots \] von einer gewissen Stelle ab periodisch wird, so daß \(Q_j=Q_{j+p}\) ist, und es wird die Frage gestellt und beantwortet, wenn für eine algebraische Zahl \(\alpha\) periodische Substitutionsketten existieren.
Es ergiebt sich als notwendige und hinreichende Bedingung, daß es im Körper von \(\alpha\) eine Einheit \(\vartheta\) von einem Betrage \(<1\) gibt, für welche die konjugierten Zahlen in den konjugierten Körpern (abgesehen von \(\vartheta\) selbst und von der Zahl \(\vartheta^0\) in dem Körper der konjugiert imaginären Zahl \(\alpha^0\), falls \(\alpha\) komplex ist) sämtlich unter einander gleichen Betrag haben.
Es gibt nun sechs Fälle, in denen diese Bedingung erfüllt ist:
1. wenn \(\alpha\) reell und \(n=2\) ist,
2. wenn \(\alpha\) reell und \(n=3\) ist und der Körper von \(\alpha\) zwei komplexe konjugierte Körper besitzt,
3. wenn \(\alpha\) komplex und \(n=3\) ist,
4. wenn \(\alpha\) komplex und \(n=4\) ist und der Körper von \(\alpha\) lauter komplexe konjugierte Körper besitzt,
5. wenn \(\alpha\) komplex und \(n=4\) ist und der Körper von \(\alpha\) einen reellen Unterkörper zweiten Grades hat,
6. wenn \(\alpha\) komplex und \(n=6\) ist und der Körper von \(\alpha\) einen reellen Unterkörper dritten Grades besitzt, dessen zwei konjugierte Körper komplex sind, und diese sechs Fälle sind die einzigen, in welchen eine Einheit \(\vartheta\) der angegebenen Art existiert und die Substitutionenkette somit periodisch wird.
Für den Fall einer komplexen kubischen Irrationalität wird schließlich die Kette der Substitutionen \(S_1, S_2, S_3, \dots\) wirklich hergestellt, wodurch man für diese Zahlen zu einem völlig analogen Kriterium gelangt, wie es Lagrange für die reellen quadratischen Irrationalitäten in der Periodizität der Kettenbruchentwicklung nachgewiesen hat.

MSC:
11J70 Continued fractions and generalizations
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