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Recherches nouvelles sur la distribution des fractions approchées d’une fonction. (French) JFM 33.0226.03
Wer den bisherigen Arbeiten des Verf. gefolgt ist, wird mit Vergnügen Kenntnis nehmen von dieser neuen Veröffentlichung, in der die schon wiederholt (F. d. M. 1892, 1899, siehe JFM 24.0360.02, JFM 30.0206.02 und JFM 30.0207.01) angezeigten Darlegungen über die Systeme angenäherter rationaler Funktionen und über ihre Abbildung in den ganzzahligen Punkten der Ebene auf eine direkte und an Einfachheit kaum noch etwas zu wünschen übrig lassende Weise abgeleitet werden; außerdem werden sie durch ein umfassendes numerisches Beispiel, das sich auf den Bruch \(\frac{1+x-2x^3+x^5+x^6}{1-2x^3+x^4+x^6}\) bezieht, sowie durch die zugehörige instruktive Figur erläutert. Dasselbe Beispiel wird dann auch herangezogen, um die Rekursionsformeln zu illustrieren, welche die verschiedenen Annäherungen an denselben Quotienten mit einander verknüpfen und am deutlichsten durch den Begriff des zugehörigen holoiden Kettenbruchs erfaßt werden.
Abgesehen aber von dieser Neubearbeiteung früherer Resultate, enthält die vorliegende Arbeit noch einen dritten Teil, der ein neues Theorem bringt über den Zusammenhang der betrachteten angenäherten Funktionen und des holoiden Kettenbruchs mit der kanonischen Kettenbruchentwickelung einer nach fallenden Potenzen geordneten Reihe; das Vorkommen von anormalen Näherungsbrüchen dort zieht das Auftreten von nicht linearen Teilnennern hier nach sich, und der Grad dieses Nenners läßt sich wiederum durch die Verteilung der repräsentierenden Punkte abzählen. Zum Schluß führt der Verf. die schon F. d. M. 32, 214, 1901 (siehe JFM 32.0214.02) angezeigte Bemerkung über die Stieltjesschen Untersuchungen weiter aus und kennzeichnet seinen Standpunkt über den Weg, auf welchem weitere Fortschritte in diesem Gebiete zu hoffen seien.
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Full Text: DOI Numdam EuDML