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Leçons sur les séries à termes positifs professées au Collège de France. Recueillies et rédigées par R. d’Adhémar. (French) JFM 33.0252.01
Paris: Gauthier-Villars. VI u. 95 S. \(8^\circ\) (Nouvelles Leçons sur la théorie des fonctions) (1902).
Auf den engen Zusammenhang der Reihen positiver Glieder mit der Art des Wachsens der Funktionen leiten die beiden ersten Kapitel des Buches hin, in denen die Konvergenz und Divergenz der Reihen und Integrale auf Grund der Bertrandschen Kriterien behandelt wird. Das dritte Kapitel ist dem irregulären und regulären Wachsen der Funktionen gewidmet. Als Beispiel für das erstere wird eine Funktion \(g(x)\) in der Weise gebildet, daß abwechselnd aus \[ e^x =a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \quad \text{und} \quad e^{e^x} = b_0 + b_1 x + b_2x^2 + \cdots \] Gruppen von Gliedern genommen werden: \[ g(x) = a_0 + a_1 x + \cdot \cdot + a_{n_1} x^{n_1} + b_{n_1 +1} x^{n_1+1} + b_{n_2} x^{n_2} + a_{n_2+1} x^{n+1} \cdots , \] und es zeigt sich, daß \(g(x)\) für eine unendliche Anzahl von Werten der Veränderlichen \(x\) mit der Funktion \(e^x\), für eine unendliche Menge anderer Werte mit der Funktion \(e^{e^x}\) vergleichbar ist.
Um die Ordnungen des Unendlichen zu definieren, wird für das Unendlichkleine eine Grundgröße \(x\) gewählt und durch Vergleichung mit ihr die Ordnung einer anderen unendlich kleinen Größe \(y\) erklärt. Ist \(\mu\) eine positive Zahl von der Beschaffenheit, daß \(y/x^u\) eine Grenze besitzt, wenn \(x\) gegen Null konvergiert, so ist \(\mu\) die Ordnung von \(y\).
Ebenso wird für das Unendlichgroße eine Grundgröße \(x\) gewählt und der Grad anderer Größen durch Vergleichung mit \(x\) bestimmt. Ist \(y = x^p\), \(x^p\times x^q\), so ist \(y\) vom Grade \(p\), bezüglich \(p + q\); ist \(y\) vom Grade \(p\) in \(x, z\) vom Grade \(q\) in \(y\), \(y = x^p\), \(z = y^q\), so ist \(z = x^{pq}\) vom Grade \(pq\). Ist \(y =x^p\), so ist der Grad von \(x = y^{\frac 1p}\) gleich \(\frac 1p .\) Der Grad von \(e^x\) wird durch \(\omega\) bezeichnet, dann ist \(e^x x^n\) vom Grade \(\omega +n\) \(x^n e^x\) vom Grade \(n + \omega\) und, wenn \(n\) endlich und größer als Null ist, \(\omega+n=n+\omega\). Ist \(y=e^x, z=e^y\), so ist \(z=\varphi_2(x)=e^{e^x}\) vom Grade \(\omega^2\), und \(\varphi_m(x)\) vom Grade \(\omega^m\). Der Grad von \(\log x\) ist \(\frac1\omega\) oder \(\omega^{-1}\), derjenige von \(\log_mx\) ist \(\omega^{-1}\). Hieraus folgt \(\omega^\alpha + \omega^\beta = \omega^{\alpha=\beta}\). Ist \(y = x^n, z = e^y\), so ist \(z = e^{x^n}\) vom Grade \(\omega n\); ist dagegen \(y = e^x\), \(z = y^n\), so ist \(z\) vom Grade \(n \omega\), und es ist \(\omega n \neq n \omega\), d. h. die Multiplikation der Grade ist im allgemeinen nicht kommutativ, wohl aber assoziativ: \(a(bc)=abc\).
Ist \(f(x)\) vom Grade \(a\), \(\varphi(x)\) vom Grade \(b\), so ist \(F(x) = f (x) \varphi(x)\) vom Grade \(A = a + b\). Ist \(x = \varphi(y)\) und \(\varphi\) vom Grade \(\alpha\), so ist der Grad von \(F[\varphi (y)]= f[\varphi(y)] g [\varphi (y)]\) gleich \(A\alpha=a\alpha+b\alpha\) oder \((a + b) \alpha = a \alpha + b\alpha\); dabei ist \(m(p + q) \neq mp + mq.\) Ist \(\omega^2n\omega{-4}\) der Grad von \(y = G(x)\), so ist der Grad der inversen Funktion: \(x= F(y)\) gleich \(\omega^4\frac1n\omega{-2}\), d. h. man erhält den Grad der inversen Funktion, indem man von jeder Komponente den umgekehrten Wert nimmt und die Reihenfolge der Komponenten umkehrt.
Unter Benutzung des Zeichens \((\mu)\) läßt sich eine umfassende Definition des Grades des Unendlichgroßen geben. Es sei \(F(x/b)\) eine wachsende Funktion vom Grade \(i = ab + cde + fg\); eine Funktion \(\varphi(x)\) sei so beschaffen, daß , wenn \(\varepsilon\) eine beliebig kleine Größe bedeutet, \[ \lim_{x=\infty} \left[ \frac {\varphi (x)}{F (x/b - \varepsilon)} \right] = \infty , \quad \lim_{x=\infty} \left[\frac {\varphi (x)}{F (x/b + \varepsilon )} \right] = 0 \] ist, dann ist \(j = a(b) + cde+ fg\) der Grad von \(\varphi(x).\)
Die einfachen Funktionen haben einen Grad der Größe wie \(i\) oder \(j\). Funktionen von regulärem Wachsen heißen diejenigen, welche mit diesen einfachen Funktionen verglichen werden können.
Im 5. Kapitel über die Potenzreihen einer Veränderlichen werden die von Poincaré, Hadamard, le Roy behandelten Aufgaben besprochen: Welches ist der Grad der Funktion, wenn der Grad ihrer Koeffizienten bekannt ist? und: Kann aus dem Grad der Größe der Potenzreihe der Grad ihrer Koeffizienten abgeleitet werden? Weiter wird hingewiesen auf das von Cesàro und Appell untersuchte Wachsen der Funktionen \(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots,\) wenn \(x\) sich dem singularen Punkte + 1 nähert \((a_0, a_1, a_2\) sind positiv und kleiner als 1 angenommen), und auf die Hadamardschen Operationen \(D\) und \(\mathfrak D\). Man setze \(f (x) = D^0 f(x)\) \[ \int_a^x f (x) dx = D^{-1} f(x), \quad \int_a^x [D^{-1} f(x) ] dx = D^{-2} f (x); \] für ein negatives \(\alpha\) ist nach der Definition von Riemann \[ D^a f(x) = \frac {1}{\varGamma (- \alpha)} \int_a^x (x-z)^{-\alpha -1} f(z) dz. \] Setzt man für ein positives \( \alpha D^a f (x) = \frac {d^\alpha f (x)}{dx^\alpha},\) so ist für beliebige \(\alpha, \beta \alpha', \beta' D^{\alpha=\beta},\) wenn \(\alpha+\beta=\alpha' + \beta'\) ist, und es ist \(D^\alpha\) für positive und negative \(\alpha\) definiert.
Die Operation \(\mathfrak D \) erhält Hadamard, indem er \(x= e^y\) setzt und das Symbol \(D\) bildet, indem er \(f(x)\) als Funktion von \(y\) betrachtet; dadurch findet er \(\mathfrak D^\alpha x^m=m^\alpha x^m\). Für \(f(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2+\dots\) ergeben sich die Entwicklungen \[ x^a D^a f(x) = \varSigma a_m \frac {\varGamma (m+1)}{\varGamma (m+1 - \alpha)} x^m, \quad \mathfrak D^a f(x) = \varSigma a_m m^\alpha x^m, \] welche beide gleichzeitig absolut konvergent sind.
Das 4. Kapitel handelt von Doppelreihen und vielfachen Integralen, das 6. von Reihen mit zwei Veründerlichen. Eine Potenzreihe \(F(z)\) ist von der Ordnung \(\varrho\), wenn, für ein beliebig kleines \(\varepsilon\) und ein hinreichend großes \(r = |z|, |F(z)| < e^{r^{\varrho+\varepsilon}}\) ist. Als totale Ordnung der Funktion \(f(x, y) = \sum_0^\infty \sum_0^\infty A_{mn}x^my^n\) wird die Ordnung der Funktion \(f(z,z)\) definiert; für sie werden Sätze aufgestellt, in denen aus der Ordnung von \(f(x, y_0),\) bezüglich \(f(x_0, y)\) und \(f(x,y_0)\) Schlüsse für die Ordnung von \(f(x, y)\), bezüglich für die totale Ordnung von \(f(x,y)\) gezogen werden.
Mit einem Hinweis auf die assoziierten Konvergenzradien und die séries syntagmatiques schließt das interessante Buch.

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