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Theory of differential equations. Part III. Ordinary linear equations. Vol. IV. (English) JFM 33.0321.01

Cambridge: University Press. xvi, 534 S. (1902).
Der vorliegende Band bildet den dritten Teil des Forsythschen Werkes über die Theorie der Differentialgleichungen, dessen zweiter, aus zwei Bänden bestehender Teil 1900 im JFM 31.0322.01 ausführlich vom Ref. besprochen worden ist. Verf. behandelt in diesem Bande die Theorie der linearen Differentialgleichungen, beschränkt sich aber, dem verhältnismäßig kleinen Raume entsprechend, lediglich auf die Anwendungen der Funktionentheorie, um eine gleichmäßige Darstellung des Stoffes zu erreichen. So fehlen die formalen Theorien, die ausführlichere Darstellung des Zusammenhanges mit den homogenen Formen, die Diskussion. der Differentialinvarianten und -kovarianten (ein Gebiet, auf dem gerade der Verf. selbst schöpferisch tätig gewesen ist), sowie die Anwendung der Gruppentheorie; Verf. verweist für diese Gebiete auf das Schlesingersche „Handbuch“ und auf Picards “Traité d’Analyse”.
Im ersten Kapitel wird die Existenz eines durch die Anfangsbedingungen eindeutig bestimmten “synektischen” Integrals in der Umgebung einer nichtsingulären Stelle nach den Methoden von Fuchs und Günther bewiesen und die Begrenzung seines Kontinuitätsbereiches durch die singulären Punkte der Differentialgleichung festgestellt; ferner werden die linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten nach Hermite behandelt und die Fundamentaldeterminante sowie das Fundamentalsystem von Integralen eingeführt.
Im zweiten Kapitel wird der allgemeine Charakter eines Fundamentalsystems von Integralen in der Umgebung einer singulären Stelle diskutiert; insbesondere werden die Hamburgerschen Untergruppen recht ausführlich behandelt.
Die drei folgenden Kapitel beschäftigen sich mit denjenigen Gleichungen, deren Integrale sich regulär verhalten, und zwar wird im dritten Kapitel die Untersuchung für eine singuläre Stelle durchgeführt (determinierende Gleichung und Funktion; Bedingungen für das Fehlen der Logarithmen; wesentliche und außerwesentliche singuläre Stelle), im vierten Kapitel für alle singulären Stellen (Fuchssche Gleichungen; Normalform; Riemanns \(P\)-Funktion und hypergeometrische Differentialgleichung usw.), während Kapitel V die Differentialgleichungen mit algebraischen Integralen behandelt; hier seien besonders die neueren Untersuchungen von Painlevé und Boulanger über die Gleichungen dritter Ordnung hervorgehoben, die ausführlich wiedergegeben sind. Die in Schlesingers Handbuch so gründlich durchgeführte Theorie der Differentialgleichungen mit homogenen Relationen zwischen den Integralen dagegen ist vom Verf. sehr oberflächlich behandelt worden; der auf S. 217 angegebene Satz ist falsch oder zum mindesten in seiner Allgemeinheit wertlos, da seine Ausnahmefälle die Hauptsache sind (es ist die von Kronecker oft gerügte “schlechte” Allgemeinheit, mit der man alles aussagen kann).
Im sechsten Kapitel werden solche Gleichungen betrachtet, welche nur einige Integrale von regulärem Typus besitzen, und der Einfluß derselben auf die Reduzibilität der Gleichungen gezeigt (Untersuchungen von Frobenius, Lagranges Adjungierte).
Kapitel VII beschäftigt sich mit der Bestimmung der Integrale, welche zwar nicht regulär, aber irregulär von besonderem Typus sind, der sogenannten normalen und subnormalen Integrale (determinierender Faktor; Rang; Untersuchungen von Thomé, Hamburger, Poincaré, Cayley und Lyapunov).
Kapitel VIII ist den Gleichungen gewidmet, welche nicht zu den vorhergehenden Typen gehören; die Methode der konvergenten unendlichen Determinanten wird benutzt, um die vollständige Lösung einer solchen Gleichung zu erhälten.
Kapitel IX behandelt die Theorie der Gleichungen, deren Koeffizienten einfach- oder doppeltperiodische Funktionen sind.
Im Kapitel X endlich werden die Gleichungen mit algebraischen Koeffizienten untersucht; es enthält auch einen kurzen (etwas oberflächlichen) Abriß der Poincaréschen Verknüpfang dieser Gleichungen mit den automorphen Funktionen.
Verf. hat wieder, wie in den ersten Bänden, eine Menge originalen Stoffes verarbeitet; es kann ihm aber, wie dort, der Vorwurf nicht erspart werden, daß die Durcharbeitung dieses Stoffes nicht immer vollständig und gleichmäßig genug ist. Lobend hervorzuheben sind wieder die zahlreichen, oft ganz durchgeführten Beispiele, die meist Originalarbeiten entnommen sind, ein allen Verfassern von Lehrbüchern zu empfehlendes Verfahren. Diese Beispiele, die angestrebte Vollständigkeit der Literaturangaben bis zur neuesten Zeit, sowie der Umstand, daß manche neueren, vom Verf. aufgenommenen Untersuchungen in andern Lehrbüchern noch nicht enthalten sind, sichern seinem Werk neben den schon bestehenden die Existenzberechtigung.

MSC:

34-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to ordinary differential equations

Citations:

JFM 31.0322.01