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Sur l’irréductibilité des transcendantes uniformes définies par les équations différentielles du second ordre. – Démonstration de l’irréductibilité absolute de l’équation \(y'' = 6y^2 + x.\) – Sur les transcendantes uniformes définies par l’équation \(y'' = 6y^2 + x.\) – Sur l’irreductibilité de l’équation \(y'' = 6y^2 + x\). (French) JFM 33.0347.01
C. R. 135, 411-415 (1902); C. R. 135, 641-647, 757-761, 1020-1025 (1902).
Liouville (siehe JFM 33.0346.03) glaubt bewiesen zu haben, daß die Integration der Differentialgleichung (1) \(y'' = 6y^2+x\) sich durch geeignete Transformationen auf diejenige einer linearen Differentialgleichung vierter Ordnung reduzieren läßt. Painlevé zeigt, daß die Schlüsse Liouvilles für eine beliebige Differentialgleichung zweiter Ordnung bestehen bleiben, was zu einem unmöglichen Resultat führen würde. Er findet in der Tat den Fehler darin, daß die effektive Herstellung jener Transformationen Integrationen erfordert, die mit der Integration der vorgelegten Differentialgleichung äquivalent sind, und beweist die absolute Irreduktibilität der Differentialgleichung (1) im Sinne von Drach, derart, daß dieselbe durch keinen formellen Integrationsprozeß reduziert werden hann. Gleichzeitig leitet er einige Eigenschaften der durch die Gleichung (1) definierten Transzendenten ab, die sich aus ihrer Irreduktibilität ergeben, und zeigt, daß die von ihm (S. M. F. Bull. 28, 48, 1900) gegebene Darstellung des Integrals von (1) als Quotient zweier ganzen Funktionen unter allen die einfachste ist.

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