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Sur quelques transformations des équations aux dérivées partielles du second ordre. (French) JFM 33.0362.02
Sind vier Relationen \[ F_i (x, y, z, p, q; \;x', y', z', p', q') = 0 \quad (i =1,2,3,4) \] zwischen den Koordinaten der Elemente zweier Systeme \(E\) und \(E'\) gegeben, so existieren stets Flächen von \(E\), denen Flächen von \(E'\) entsprechen, und es können im speziellen diese Flächen Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung sein. Ebenso können die Flächen von \(E'\), die solchen von \(E\) entsprechen, Integrale einer zweiten derartigen Gleichung sein. Tritt dies ein, so sagt man, daß man von einer zur anderen Gleichung durch eine Bäcklund-Transformation gelangt, die durch die Relationen \(F_i = 0\) definiert ist.
Im ersten Teile der Abhandlung von Clairin (siehe JFM 33.0362.01) werden die allgemeinen Eigenschaften dieser Transformationen abgeleitet, und es wird im speziellen ein Fall behandelt, der bisher noch nicht untersucht worden ist. Es wird ferner eine zweckmäßige Einteilung der Transformationen in drei Kategorien gegeben, von denen die erste im zweiten Teile einer besonderen Untersuchung unterworfen wird, solche Transformationen nämlich, bei denen sich die Integrale der beiden Gleichungen einzeln entsprechen; sehr allgemeine Sätze können über diese Transformationen ausgesprochen werden.
Im dritten Teile werden die Transformationen behandelt, bei denen einem Integrale der einen Gleichung unendlich viele der anderen entsprechen; hier liegen die Verhältnisse erheblich verwickelter, und die Ergebnisse sind hier noch ziemlich unvollständig.
Mit denselben Transformationen beschäftigt sich Goursat. Bei ihm handelt es sich um die Frage, zu erkennen, ob eine gegebene Differentialgleichung zweiter Ordnung aus einer Bäcklund-Transformation hervorgeht, und alsdann diese Transformation zu finden. Direkt ist das Problem nicht ohne weiteres zu lösen; es wird vereinfacht durch die Annahme, daß die Gleichungen \(F_i = 0\) eine infinitesimale Berührungstransformation in bezug auf das Element \((x', y', z', p', q')\) zulass en.

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Full Text: DOI Numdam EuDML