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The second variation of a definite integral when one end-point is variable. (English) JFM 33.0385.01
Das Verfahren, welches in dieser Abhandlung angewendet wird, um die zweite Variation eines bestimmten Integrales \[ J = \int_{t_0}^{t_1} F(x, y, x', y') dt \] zu diskutieren für den Fall, daß die gesuchte Kurve \(C\) durch einen festen Punkt \(B\) hindurchgeht und der andere Endpunkt \(A\) auf der gegebenen Kurve \(D\) frei verfügbar bleibt, ist ganz analog dem Verfahren, welches Weierstraß in seinen Vorlesungen über Variationsrechnung (1879) für den Fall gegeben hat, daß beide Endpunkte fest vorgeschrieben sind. Der Unterschied beider Verfahren hat seinen Ursprung in dem Umstande, daß bei dem hier vorliegenden Problem außerhalb des Integralzeichens stehende Glieder mit in Betracht gezogen werden müssen. Als Resultat der Diskussion ergibt sich ein dem Jacobischen analoges Kriterium, welches in neuer Weise den “kritischen” Punkt der festen Kurve \(D\), wie der Verf. den von Kneser in seinem Lehrbuche der Variationsrechnung als extremalen Brennpunkt bezeichneten Punkt nennt.
Nachdem noch einige einfache Sätze über die Lage des kritischen zu dem konjugierten Punkte hergeleitet sind, werden schließlich die Beziehungen zwischen dem Resultate des Verf. und dem von Kneser in seinem oben erwähnten Lehrbuche gegebenen besprochen. Beide sind im wesentlichen identisch. Kneser hat kürzlich sein Resultat in neuer Weise hergeleitet (vergl. das Referat auf S. 380, JFM 33.0380.01).

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
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