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On a question of the calculus of variations. (Sur une question de calcul des variations.) (French) JFM 33.0387.02
Es liegt nahe, für das Maximum oder Minimum eines \(n\)-fachen Integrals mit m unbekannten Funktionen \[ (1) \quad \smallint \smallint \dots \smallint f(y_1, y_2, \dots, y_m, x_1, x_2, \dots, x_n, p_1^1, \dots, p_n^m ) dx_1 dx_2 \dots dx_n \] wo \[ p_i^k = \frac {\partial y_i}{\partial x_k} \quad \left( \begin{matrix} i = 1, 2, \dots, m \\ k = 1, 2, \dots, n \end{matrix} \right) \] gesetzt ist – nach Analogie der Bedingung für die gewöhnlich untersuchten speziellen Fälle \(n = 1\) oder \(m = 1\) –, als notwendige Bedingung anzusehen, daß die quadratische Form \[ (2) \qquad \sum_{i, k, i', k'}\;\frac {\partial f}{\partial p_k^i \cdot \partial p_{k'}^{i'}}\;u_k^i u_{k'}^{i'} \] mit den \(mn\) Unbestimmten \(u_1^1, \dots, u_n^m\) positiv sein muß.
Dies ist aber nicht der Fall, wie aus den von Clebsch in seiner Abhandlung “Über die zweite Variation vielfacher Integrale” ausgeführten Transformationen folgt. Es ist vielmehr, damit die zweite Variation von (1) wesentlich positiv sei, hinreichend, daß die Form (2) positiv werden kann, wenn man sie in beliebiger Weise mit den \[ \frac {m(m-1)}2\;\frac {n(n-1)}2 \] Formen \[ (3) \qquad u_k^i u_{k'}^{i'} - u_{k'}^i u_k^{i'} \quad \underset{i\neq i',\;k\neq k'}{\left( \begin{matrix} i, i' = 1, 2, \dots, m \\ k, k' = 1, 2, \dots, n \end{matrix} \right)} \] kombiniert. Als notwendige Bedingung für das Eintreten eines Extremums von (1) ergibt sich, daß die Form (2) wesentlich positiv sein muß für alle Werte von \(u\), welche die Formen (3) zum Verschwinden bringen. Der Beweis für diese Behauptung ist von dem Verf. in seinen inzwischen erschienenen Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l’hydrodynamique veröffentlicht.

MSC:
49K10 Optimality conditions for free problems in two or more independent variables
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