On entire and quasi-entire functions. (Sur les fonctions entières et quasi-entières.) (French) JFM 33.0416.03

Maillet, E.

Journ. de Math. (5) 8, 329-386 (1902).

Der Verf. beweist im ersten Teile folgende Sätze über ganze Funktionen:
1. Wenn ein kanonisches Produkt von Primfunktionen von der wahren Ordnung \(\varrho\) gegeben ist und man um jeden Nullpunkt einen Kreis von endlichem Radius zieht, so gilt bei beliebig kleinem \(\varepsilon\) für jeden Punkt außerhalb dieser Kreise, wenn \(|z| = r\) hinreichend großist, die Ungleichung \[ |G (z)| > e^{-r^{\varrho + \varepsilon }}. \] Dieser Satz unterscheidet sich nach Inhalt und Beweis nur unerheblich von dem sogenannten zweiten Theorem von Hadamard, wie es in Borels Leçons sur les fonctions entières p. 75ff. dargestellt ist.
2. Ist \(f (z) = A_0 + A_1 z + \cdots A_l z^l + \cdots \) eine ganze Funktion von endlicher Ordnung \(\varrho'\), und setzt man \[ f_l(z) = A_0 + A_1 z + \cdots A_l z^l , \] so entspricht für hinreichend großes \(l\) jeder Wurzel von \(f_l(z)\) mit einem absoluten Betrage kleiner als \(l^{\frac {1}{\varrho'+ \varepsilon}}\) eine Wurzel von \(f(z),\) die von jener beliebig wenig abweicht.
3. Für eine ganze Funktion von der scheinbaren Ordnung \(\varrho'\) können die Potenzsammen der reziproken Wurzeln von, der Ordnung \(m > \varrho'\) wie für ein Polynom durch die Newtonschen Formeln berechnet werden.
Im zweiten Teile der Abhandlung betrachtet der Verf. “fonctions quasi-entiéres” , das sind Funktionen mit einer endlichen Anzahl isolierter wesentlich singulärer Stellen. Sind diese Stellen \(\infty, a_0, a_1, \dots, a_k,\) und bezeichnen \(\psi\) und \(\varrho\) ganze Funktionen, so lassen sich jene Funktionen in die doppelte Form setzen: \[ f=\psi (z) + \psi_0 \left( \frac 1{z-a_0} \right)+ \cdots + \psi_k \left( \frac 1{z-a_k} \right) \] und \[ f=\varphi (z) \varphi_0 \left( \frac 1{z-a_0} \right) \cdots \varphi_k \left( \frac 1{z-a_k} \right) \] Der Verf. zeigt, daß, wenn \(\psi, \psi_0, \dots, \psi_k\) endliche Ordnungen \(\varrho, \varrho_0, \dots, \varrho_k\) besitzen, das gleiche auch von \(\varphi, \varphi_0, \dots, \varphi_k\) gilt, und überträgt einige Sätze von Laguerre auf diese Funktionen und ihre Quotienten, die “fonctions quasi méromorphes”.

Reviewer: Landsberg, Prof. (Breslau)

MSC:

30D20

Entire functions of one complex variable (general theory)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Zereos and growth properties of entire functions.