Sur la convergence de la série hypergéométrique. (French) JFM 33.0460.03

Godefroy, M.

Nouv. Ann. (4) 2, 64-65 (1902).

Weierstraß hat gezeigt, daß, wenn man die Funktion \(\varGamma(x)\) als Grenze des Produktes \[ \varPi (x) = n^x\;\frac {1\cdot2\dots n}{x(x + 1) \dots (x + n) } \] für \(n = \infty\) auffaßt, der Ausdruck \[ \frac 1{n^x}\;\frac {\varGamma (x+n)}{1\cdot 2 \dots (n-1)} \] für dieselbe Grenze gegen 1 konvergiert. Dieses Resultat wird hier auf die Diskussion der Konvergenz der Gaußschen hypergeometrischen Reihe \[ 1 + \frac {\alpha \cdot \beta}{1 \cdot \gamma}\;x + \frac {\alpha (\alpha +1)\beta(\beta+1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}\;x^2 + \cdots \] angewendet. Sind \(a, b, c\) die reellen Teile von \(\alpha, \beta, \gamma\) so kann man den Modul des allgemeinen Gliedes \(U_n\) setzen : \[ |u_n| = \lambda_n n^{a+b-c-1} |x|^n, \] wo \(\lambda_n\) ein Koeffizient ist, der für \(n = \infty\) gegen eine Grenze konvergiert. Der Radius der Konvergenz ist 1, und die Reihe der Moduln ist nur konvergent, wenn \(a + b - c < 0.\)

Reviewer: Müller, F., Prof. (Friedenau)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen (einschließlich der Gammafunktion und der hypergeometrischen Reihe).