On the projective axioms of geometry. (English) JFM 33.0487.01

Moore, E. H.

American M. S. Trans. 3, 142-158 (1902).

Als projektive Axiome der Geometrie bezeichnet der Verf. nach dem Vorgange von F. Schur die Hilbertschen Axiomgruppen I und II (die Axiome der Verknüpfung und Anordnung). Er versucht, diese Axiome durch einfachere zu ersetzen, und zwar gleich für den Raum von \(n\geqq 2\) Dimensionen. Dabei bekämpft er die Behauptung von F. Schur, daßdie Hilbertschen Axiome I, 3, 4, 5 überflüssig seien, und meint, diese Behauptung beruhe auf einer Verwechslung der Ebene, wie sie Hilbert definiert hat, mit der von Peano definierten Ebene. Es ist nicht möglich, den Inhalt der Arbeit kurz wiederzugeben; daßsie aber lesenswert ist, geht daraus hervor, daßHilbert durch sie veranlaßt worden ist, in der zweiten Auflage seiner Grundlagen der Geometrie eines der Axiome der Gruppe II von der Liste der Axiome zu streichen und unter die Sätze aufzunehmen. Eine Bemerkung kann ich jedoch nicht unterdrücken. Nachdem der Verf. zuerst in drei Axiomen die Gerade und die zwischen zwei Punkten \(A, B\) liegenden Punkte der Geraden \(AB\) eingeführt hat, stellt er als Axiom 4 dieses auf: “Eine Gerade, die eine Seite eines Dreiecks außerhalb und eine andere Seite innerhalb schneidet, schneidet die dritte Seite innerhalb”, und nunmehr hat es keine Schwierigkeit, die Ebene und die ebenen Räume von drei und mehr Dimensionen zu definieren. Mir scheint aber bei der Formulierung dieses Axioms die Voraussetzung, daßdie Gerade die dritte Dreiecksseite überhaupt schneidet, nicht zu ihrem Rechte zu kommen. Man hat geradezu den Eindruck, als ob das Schneiden etwas Selbstverständliches wäre, und als müßte nur die Art des Schneidens durch ein Axiom festgelegt werden. Dazu kommt, daßdie Voraussetzung, der dritte Schnittpunkt existiere immer, eine von vornherein nicht nötige Beschränkung des Begriffs der Ebene bedeutet.

Reviewer: Engel, Prof. (Greifswald)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Kapitel 1. Prinzipien der Geometrie.