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Intorno ai fondamenti della geometria sopra le superficie algebriche. (Italian) JFM 33.0654.01
Enriques und Castelnuovo haben (cf. F. d. M. 32, 622, 1901, JFM 32.0622.01) eine systematische Theorie der Geometrie auf den algebraischen Flächen entwickelt. Da die dort in \(\S\) 1 und \(\S\) 2 gegebenen Grundlagen nur sehr knapp gefaßt sind, hat Enriques nunmehr eine ausführliche Einleitung in jene große Arbeit verfaßt.
Sei \(F\) eine singularitätenfreie algebraische “Fläche” im Raume \(S_k\) von \(k\) Dimensionen. Durch eine lineare \(\infty^r\) Schar \[ \lambda_1f_1+\cdots +\lambda_{r+1}f_{r+1}=0 \] von Flächen wird auf \(F\) ein lineares System \(|C|\) von \(\infty^r\) Kurven \(C\) ausgeschnitten. Irgend ein fester gemeinsamer Punkt der Kurven \(C\), von der Multiplizität \(i\), heißt ein \(i\)-facher Basispunkt des Systems \(|C|\).
Geht \(F\) durch eine birationale Transformation über in \(F_1\), so geht auch das System \(|C|\) auf \(F\) in ein System \(|C_1|\) auf \(F_1\) über. Ein \(i\)-facher Basispunkt von \(|C|\) geht dabei im allgemeinen über in einen eben solchen für \(|C_1|\). Dagegen verwandelt sich ein für die Transformation “fundamentaler” Basispunkt \(A\) von \(|C|\) in eine Kurve \(a\) auf \(F_1\), die dann eine “Ausnahmekurve” heißt. Diese Fundamentalpunkte \(A\) zerfallen in drei Klassen. Ist die Kurve \(a\) kein fester Bestandteil der Kurven \(C_1\), so wird \(A\) “virtualmente non esistente” genannt (erste Klasse). Ist dagegen \(a,\;i\)-mal gerechnet, ein fester Bestandteil der \(C_1\), so ist der \(i\)-fache Basispunkt \(A\) “assegnato di molteplicità virtuale \(i\)” (zweite Klasse).
Ist endlich \(a\), schon \(j\)-mal \((j<i)\) gerechnet, ein fester Bestandteil der \(C_1\), so heißt \(A\) “assegnato di molteplicità virtuale \(j\) e di molteplicità accidentale \(i\)” (dritte Klasse). Ein System \(|C|\), virtual frei von Basispunkten auf \(F\), ist ein “vollständiges”, wenn es nicht in einem umfassenderen System derselben Ordnung enthalten ist. Dann gilt der grundlegende Satz, daß irgend eine Kurve \(C\) auf \(F\) einem bestimmten vollständigen System \(|C|\) derselben Ordnung angehört.
Der Begriff eines vollständigen Systems \(|C|\) nebst dem soeben erwähnten Satze läßt sich auf den Fall ausdehnen, daß \(|C|\) Basispunkte der zweiten Klasse enthält. Die Eigenschaft der Vollständigkeit eines Systems \(|C|\) ist dann gegenüber jeder birationalen Transformation von \(F\) eine invariante.
Liegen zwei vollständige Systeme \(|C|\) und \(|K|\) auf \(F\) vor, so existiert ein bestimmtes vollständiges Summensystem \(|C+ K|\), das alle aus Kurven \(C\) und \(K\) zusammengesetzten Kurven enthält. Umgekehrt gibt es dann auch, unter gewissen Voraussetzungen über \(|C|\) und \(|K|\), ein bestimmtes Differenzsystem \(|C-K|\). Sind die Kurven \(C\) eines Systems reduzibel, so zerfallen sie in einen festen (allen gemeinsamen) Bestandteil und in einen variabeln irreduzibeln Teil.
Nunmehr werden die gegenüber einer birationalen Transformation invarianten “Charaktere” eines \(\infty^r\)-Systems \(|C|\) eingeführt. Das ist einmal die “Dimension” \(r\) selbst, sodann das “Geschlecht” \(\pi\) und der “Grad” \(n\). Im Falle, wo \(|C|\) ein irreduzibles System ohne Basispunkte der dritten Klasse ist, ist \(\pi\) das Geschlecht der erzeugenden Kurve \(C\) und \(n\) die Anzahl der variabeln Schnittpunkte zweier erzeugenden \(C\). Sind dagegen \(i\)-fache akzidentale Basispunkte vorhanden, so ist \(\pi\) noch um \(\sum\frac{i(i-1)}{2}\) zu vermehren, \(n\) um \(\sum i^2\), und eine entsprechende Vermehrung tritt bei assignierten Basispunkten ein.
Für die Geschlechter \(\pi_1,\pi_2,\pi\) und die Grade \(n_1,n_2,n\) der Systeme \(|C_1|, |C_2|, |C_1+C_2|\) gelten die Beziehungen: \[ \pi =\pi_1+\pi_2+i-1,\quad n=n_1+n_2+2i, \] wenn \(i\) die Zahl der virtualen Schnittpunkte von \(C_1\) und \(C_2\) bedeutet. Diese Beziehungen gestatten, die Begriffe Geschlecht und Ordnung auch auf reduzible Systeme \(|C|\) auszudehnen, und gelten dann wiederum für solche.
Nunmehr wird der wichtige Begriff der Jacobischen Kurve eingeführt. Es liege ein Netz (eine \(\infty^2\) Schar) von Kurven auf \(F\) vor. der Ort der Doppelpunkte von Kurven des Netzes heißt die Jacobische Kurve des Netzes.
Zerlegt man ein beliebiges, aber mindestens zweifach unendliches Kurvensystem \(|C|\) auf \(F\) auf alle möglichen Weisen in Netze, so bilden sämtliche Jacobischen Kurven dieser Netze ein bestimmtes lineares System.
Auf dem Begriff der Jacobischen Kurve beruht weiterhin der der adjungierten Kurven \(C'\) eines Systems \(|C|\) mit der fundamentalen Eigenschaft \(|C'+K| = |(C+K)'|\).

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