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The geodesic lines on the anchor ring. (English) JFM 33.0670.02
Mit Hülfe der von Weierstraß eingeführten Methoden der Variationsrechnung und unter Anwendung der Weierstraßschen Theorie der elliptischen Funktionen werden die geodätischen Linien der bei uns meist als Ringfläche, Wulst oder auch Torus bezeichneten, teils positiv, teils negativ gekrümmten Rotationsfläche untersucht, welche die Peripherie eines Kreises beschreibt, der um eine in seiner Ebene liegende, die Peripherie nicht schneidende Gerade rotiert.
Es zeigt sich, daß bei der Einteilung der geodätischen Linien die beiden singulären Parallelkreise, deren Ebenen zugleich Tangentialebenen der Fläche sind, eine besondere Rolle spielen. Man hat nämlich außer dem Äquator, dem Kehlkreis und den Meridiankreisen geodätische Linien von drei wesentlich verschiedenen Typen zu unterscheiden; zu dem ersten gehören solche; welche den Äquator, die beiden singulären Parallelkreise und den Kehlkreis wiederholt schneiden; den zweiten bilden solche, welche den Äquator wiederholt schneiden und den einen – und daher auch den anderen – der beiden singulären Parallelkreise wiederholt berühren; den dritten Typus vertreten diejenigen geodätischen, Linien, welche den Äquator und die singulären Parallelkreise je einmal schneiden, dem Kehlkreise aber sich von zwei Seiten her asymptotisch nähern. Bei der Klassifikation aller Flächenpunkte in Punkte erster und zweiter Art (nach v. Mangoldt, J. für Math. 91, 23 ff., 1881; vgl. F. d. M. 13, 578-581, 1881, JFM 13.0578.01) ergibt sich das interessante Resultat, daß alle Punkte des Kehlkreises von der ersten Art, dagegen alle anderen Punkte der Fläche von der zweiten Art sind.

Subjects:
Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. D. Andere spezielle Raumgebilde.
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