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Geometrie der Dynamen. Die Zusammensetzung von Kräften und verwandte Gegenstände der Geometrie. (German) JFM 33.0691.01
Leipzig: B. G. Teubner. XIII u. 608 S. gr. \(8^{\circ}\) (1901-03) (1903).
Das vorliegende Werk enthält die systematische Darstellung der Forschungen aus der Kinematik und Liniengeometrie, welche der Verf. seit mehreren Jahren angestellt und auch zumteil schon in verschiedenen Noten publiziert hat. Die Darstellung geht aus von den geometrischen Bildern, unter denen man Kräfte und Kräftesummen darstellen kann. Es werden zunächst neben die bekannten Repräsentationen von “Zugkräften” und “Drehkräften” durch Stäbe (d. h. Linienstücke), bezw. Stäbepaare oder Vektoren, neue einfache Repräsentationen dieser Kräfte gestellt; insbesondere werden solche geometrischen Figuren angegeben, der Motor und der Impulsor, welche als Repräsentanten einer Dyname gelten können, d. h. des allgemeinsten, von sechs Konstanten abhängigen Kräftesystems. Für diese Figuren lassen sich Verknüpfungen definieren, welche der Zusammensetzung der Dynamen entsprechen. Von diesen kinematischen Untersuchungen aus, die sowohl elementargeometrisch als auch analytisch durchgeführt werden, gelangt Verf. zu allgemeinen Untersuchungen der Liniengeometrie, insbesondere zu der Aufgabe, lineare Systeme von Gewinden hinsichtlich gewisser Gruppen zu klassifizieren.
Auf die Darstellung ist die größte Sorgfalt verwandt, überall sind die Voraussetzungen genau präzisiert und die Begriffe so scharf gefaßt, daß alle Sätze auch streng gelten. Verf. verbindet mit einer seltenen geometrischen Phantasie die Strenge der Beweise, die in der Analysis und in anderen Zweigen der Mathematik heute erreicht ist. Für die Liniengeometrie, nicht weniger als für die Kinematik, bedeutet das Erscheinen des Buches einen wirklichen Fortschritt durch seine Eigenart und die Konsequenz der Methoden, wie durch die Fülle des durchaus neuen Stoffes. Dieser Stoff verteilt sich auf drei Abschnitte und einen Anhang, der eine neue Methode der Kinematik als Anwendung der entwickelten Theorie bringt.
Der erste Abschnitt behandelt elementar-geometrisch die Frage nach denjenigen möglichst einfachen geometrischen Figuren, welche man einer Dyname zuordnen kann, von der Art, daß sich Dynamen konstruktiv zusammensetzen lassen, so wie man Zugkräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt oder Drehkräfte zusammensetzen kann. Es werden drei Lösungen dieser Frage angegeben, und zwar ergeben sich diese sehr einfach dadurch, daß statt der Kräfte die Bewegungen (und ihre Zusammensetzung) untersucht werden, indem Verf. den bekannten Zusammenhang zwischen Kräften und infinitesimalen Bewegungen auf endliche Bewegungen ausdehnt.
Nach drei einleitenden Paragraphen, in welchen die Hauptsätze der Kinematik (insbesondere diejenigen über die mit einer Bewegung verbundenen Kollineationen und Korrelationen und das zugehörige Nullsystem) zusammengefaßt sind, kommt Study zur Aufstellung geometrischer Figuren, die den Bewegungen und weiterhin Dynamen zugeordnet sind. Beispiele solcher Figuren sind:
1. Der Keil \({\mathfrak K}^{\varphi'}_{\varphi}\), Inbegriff zweier nicht orthogonalen Ebenen \(\varphi ,\varphi'\), deren Schnittlinie die Gerade des Keils, heißt und (zusammen mit der uneigentlichen Geraden, in welcher sich die zu der Schnittgeraden orthogonalen Ebenen schneiden) ein “Linienkreuz” bestimmt, das als Träger des Keils gilt.
2. Der Motor \({\mathfrak M}^{{\mathfrak Y}}_{{\mathfrak X}}\), das System zweier in bestimmte Reihenfolge gesetzten Geraden \({\mathfrak X},{\mathfrak Y}\), die sich nicht rechtwinklig kreuzen.
3. Der Quirl, die Figur eines Punkts und einer Ebene, welche Dicht vereinigt liegen.
4. Der Impulsor \({\operatorname{Im}}^{{\mathfrak Y}}_{{\mathfrak X}}\), das System zweier in bestimmte Reihenfolge gesetzten Geraden \({\mathfrak X}\) und \({\mathfrak Y}\), die nicht in einer Ebene liegen.
Für jede dieser Figuren lassen sich die Begriffe der Gleichheit und Zusammensetzung (Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Konstanten) definieren. Es lassen sich ihnen Kollineationen oder Korrelationen und damit auch Bewegungen zuordnen und darnach die Zusammensetzung der Dynamen auf die Zusammensetzung jener Figuren zurückführen.
Wegen der Konstruktionen selbst verweist Ref. auf das sehr schöne Selbstreferat des Verf. in dem Jahresb. d. deutsch. Math.-Ver. 11, 313-342 (Referat S. 490 dieses Bandes, siehe JFM 33.0490.03).
An die elementargeometrische Behandlung dieser Dinge im ersten Abschnitt schließt sich im zweiten Abschnitt die analytische Behandlung. Dafür liefert gerade die Beziehung der Bewegungen zu den verschiedenen Dynamenbildern den Ausgangspunkt. Study stellt die Figuren des Stabs, Vektors, Keils etc. durch sogenannte Alternanten dar, einfach gebaute (bilineare) Formen in symbolischer Form, so daß die Addition dieser Alternanten der Addition jener Figuren (und der Dynamen) entspricht. Die Konstruktionen und alle Rechnungen sind dabei so gewählt, daß sie gegenüber Bewegungen invariant sind, indem von vornherein alle in die Rechnung eingehenden Größen: Strecke, Winkel zweier Geraden, Winkel zweier Ebenen, als Bewegungsinvarianten eingeführt werden. Die symbolischen Rechnungsmethoden von Aronhold und Clebsch sind in bescheidenem Maße verwendet, soweit die Übersichtlichkeit dadurch gewinnt.
Beispielsweise wird dem Keil \({\mathfrak K}^{\varphi'}_{\varphi}\) die Alternante zugeordnet: \[ ({\mathfrak K}{\mathfrak X}=\frac{(\varphi\varphi'uv)}{(\varphi |\varphi')}, \] wo \((\varphi\varphi' uv)\) die Determinante aus den Koordinaten der vier Ebenen \(\varphi\varphi' uv\): \[ |\varphi_0\varphi_1'u_2v_3| \] und \((\varphi | \varphi')\) die Summe \(\varphi_1\varphi_1'+\varphi_2\varphi_2'+\varphi_3\varphi_3'\) bedeutet. Der geometrischen Summe zweier Keile mit gemeinsamer Anfangsebene \(\omega :{\mathfrak K}^{\varphi}_{\omega}\) und \({\mathfrak K}^{\psi}_{\omega}\) oder der Gleichung: \[ {\mathfrak K}^{\chi}_{\omega}={\mathfrak K}^{\varphi}_{\omega}+{\mathfrak K}^{\psi}_{\omega}, \] entspricht dann die Addition der entsprechenden Alternanten, d. h. die Relation: \[ \frac{(\omega\chi uv)}{(\omega |\chi)}=\frac {(\omega\varphi uv)}{(\omega |\varphi)}+\frac{(\omega\psi uv)}{(\omega |\psi)}\,. \] In den andern Fällen, für Stäbe, Vektoren, Quirle etc. wird ganz analog verfahren.
Um die vom Verf. definierte zweite Art von Zusammensetzung der Motoren und Impulsoren, die sogenannte “stereometrische” Addition analytisch darzustellen, führt er für die Geraden des Raumes eine neue, sehr fruchtbare Darstellung ein durch “duale Strahlenkoordinaten”, d. h. durch allgemeine Größen eines komplexen Zahlensystems. Sie werden auch durchgängig verwendet bei den Untersuchungen des dritten Abschnitts, dessen Hauptziel eine Klassifikation der linearen Mannigfaltigkeiten von Dynamen oder von reellen Gewinden (linearen Linienkomplexen) statt der Dynamen ist.
Wegen des Inhalts des dritten Abschnitts verweist Ref. hier vor allem wieder auf das Selbstreferat des Verf. im Jahresb. der deutsch. Math.Ver. 11, 97-123. Ref. verdankt selbst wesentliche Punkte der folgenden Darstellung den persönlichen Mitteilungen von Study.
Nach Plücker wird bekanntlich eine Gerade des \(R_3\) durch sechs Koordinaten \({\mathfrak X}_{01}, {\mathfrak X}_{02}, {\mathfrak X}_{03}\), \({\mathfrak X}_{12}, {\mathfrak X}_{23}, {\mathfrak X}_{31}\) dargestellt, welche die Identität erfüllen: \[ \frac 12({\mathfrak X}{\mathfrak X}={\mathfrak X}_{01}{\mathfrak X}_{23}+{\mathfrak X}_{02}{\mathfrak X}_{31}+{\mathfrak X}_{03}{\mathfrak X}_{12}=0. \] Sechs bestimmte Größen \({\mathfrak X}_{ik}\;(i, k\;=\) 0, 1, 2, 3), welche diese letztere Identität nicht erfüllen, können als Koordinaten eines Gewindes angesehen werden, dessen Gleichung ist: \[ ({\mathfrak X}{\mathfrak Y})={\mathfrak X}_{01}{\mathfrak Y}_{23}+{\mathfrak X}_{02}{\mathfrak Y}_{31}+{\mathfrak X}_{03}{\mathfrak Y}_{12}+{\mathfrak X}_{23}{\mathfrak Y}_{01}+{\mathfrak X}_{31}{\mathfrak Y}_{02}+{\mathfrak X}_{12}{\mathfrak Y}_{03}=0, \] wo nun die \({\mathfrak Y}\) veränderliche Plückersche Linienkoordinaten sind. Jedes System \(\sigma {\mathfrak X}_{01}\), \(\sigma {\mathfrak X}_{02}\), \(\sigma {\mathfrak X}_{03}\), \(\sigma {\mathfrak X}_{23}+ \tau {\mathfrak X}_{01}\), \(\sigma {\mathfrak X}_{31}+ \tau {\mathfrak X}_{02}\), \(\sigma {\mathfrak X}_{12}+ \tau {\mathfrak X}_{03}\) stellt alsdann ein zum Gewinde \({\mathfrak X}_{ik}\) koaxiales Gewinde vor.
Um das Gemeinsame der genannten Gewinde, nämlich eben ihre Hauptachse, kurz zu bezeichnen, bedient sich Verf. eines Systems dualer Größen, \(\sigma +\tau\varepsilon\), mit zwei Einheiten 1 und \(\varepsilon\), deren letzte in Rechnungen an die Bedingung \[ \varepsilon^2=0 \] geknüpft wird.
Faßt man jetzt die Gewindekoordinaten in der Form: \[ X_1={\mathfrak X}_{01}+{\mathfrak X}_{23}\cdot\varepsilon,\;X_2={\mathfrak X}_{02}+{\mathfrak X}_{31}\cdot\varepsilon,\;X_3={\mathfrak X}_{03}+{\mathfrak X}_{12}\cdot\varepsilon \] zusammen, so kann man die dualen Verhältnisgrößen \(X_1 : X_2 : X_3\) als Koordinaten der Hauptachse eines Büschels koaxialer Gewinde, mithin als Koordinaten einer beliebigen eigentlichen Geraden ansehen, solange nicht gleichzeitig die drei Größen \({\mathfrak X}_{01},{\mathfrak X}_{02}\) und \({\mathfrak X}_{03}\) Null sind.
Die linearen “synektischen” Transformationen dieser drei Verhältnisgrößen, die den homogenen Koordinaten eines reellen oder imaginären Punktes der Ebene analog sind, \[ X_i'={\mathfrak a}_{i1}X_1+{\mathfrak a}_{i2}X_2+{\mathfrak a}_{i3}X_3\quad (\text{für}\;i=1,2,3) \] definieren eine kontinuierliche Gruppe (sogenannter dual kollinearer Transformationen) mit 16 Parametern \(G_{16}\) im Linienraum, die ähnlich behandelt werden kann, wie die Gruppe aller \(\infty^{15}\) Kollineationen in der Plückerschen Liniengeometrie behandelt zu werden pflegt.
So läßt sich der Begriff des Doppelverhältnisses von vier Punkten der Ebene (einer Geraden) erweitern zu dem Begriff des dualen Doppelverhältnisses von vier Geraden, die im Normalennetz (s. unten) einer eigentlichen Geraden gelegen sind.
Für die Liniengeometrie ist die Auffassung wesentlich, wonach die Gesamtheit aller Geraden im Raum ein abgeschlossenes algebraisches Kontinuum bildet, welches auf eine \(M^2_4\) im \(R_5\) eindeutig und stetig abbildbar ist. In diesem Kontinuum sind nun aber die erklärten neuen Transformationen noch nicht eindeutig, vielmehr ist es ein schwieriges Problem, den Begriff der reellen eigentlichen Geraden so zu erweitern, daß man ein (neues) Kontinuum erhält, in welchem jene \(\infty^{16}\) Transformationen überall wohl definiert, eindeutig und stetig sind. Es soll hier nur eine der beiden entwickelten Lösungen angeführt werden.
Diese Lösung besteht darin, daß den reellen eigentlichen Geraden die Punkte der unendlich fernen Ebene hinzugefügt werden. Das so erhaltene reelle Kontinuum wird dann noch in das komplexe Gebiet ausgedehnt, und für den in doppelter Hinsicht erweiterten Begriff der Geraden wird das Wort Strahl gebraucht, um Verwechslungen mit den Plückerschen Geraden vorzubeugen. Das Strahlenkontinuum unterscheidet sich in wesentlichen Eigenschaften vom Plückerschen Linienkontinuum. Es wird nicht wie dieses auf eine \(M^2_4\) im \(R_5\), sondern auf eine Mannigfaltigkeit \(M^3_4\) im ebenen Raum von acht Dimensionen \(R_8\) umkehrbar-eindeutig und stetig abgebildet.
Zur Darstellung der Strahlen des erwähnten Strahlenkontinuums dienen die Strahlenkoordinaten zweiter Art, die, im Falle der dargestellte Strahl zugleich als Gerade im Sinne Plückers angesehen werden kann, sich in folgender Weise durch die Plückerschen Koordinaten ausdrücken lassen: \[ {\mathfrak X}_1={\mathfrak X}_{01},\quad {\mathfrak X}_2={\mathfrak X}_{02},\quad {\mathfrak X}_3={\mathfrak X}_{03}, \] \[ {\mathfrak X}_{11}=\left|\begin{matrix} {\mathfrak X}_{02} & {\mathfrak X}_{31} \\ {\mathfrak X}_{03} & {\mathfrak X}_{12} \end{matrix} \right| ,\quad {\mathfrak X}_{22}=\left| \begin{matrix} {\mathfrak X}_{03} & {\mathfrak X}_{12} \\ {\mathfrak X}_{01} & {\mathfrak X}_{23} \end{matrix} \right| ,\quad {\mathfrak X}_{33}=\left|\begin{matrix} {\mathfrak X}_{01} & {\mathfrak X}_{23} \\ {\mathfrak X}_{02} & {\mathfrak X}_{31} \end{matrix}\right|, \] wobei die Relation besteht: \[ {\mathfrak X}_1{\mathfrak X}_{11}+{\mathfrak X}_2{\mathfrak X}_{22}+{\mathfrak X}_3{\mathfrak X}_{33}=0. \] Die Größen \({\mathfrak X}_i\) und \({\mathfrak X}_{ii}\) spielen in diesen Formeln eine verschiedene Rolle, mit dem System \({\mathfrak X}_i,{\mathfrak X}_{ii}\) ist das System \(\varrho {\mathfrak X}_i, \varrho^2 {\mathfrak X}_{ii}\) (für \(i= 1, 2, 3\) gesetzt) äquivalent, abweichend von dem Verhalten der zuerst benutzten Koordinaten \({\mathfrak X}_{01},\dots ,{\mathfrak X}_{31}\), wo dieses System äquivalent ist mit dem System \(\varrho{\mathfrak X}_{01},\dots ,\varrho {\mathfrak X}_{31}\).
Eine nicht unwesentliche Eigenschaft der Strahlenkoordinaten ist die, daß stetigen Änderungen derselben auch stets stetige Lagenänderungen des Strahls entsprechen usw.
Ist eine der Größen \({\mathfrak X}_i\) von Null verschieden, so hat man einen eigentlichen Strahl vor sich, wenn sie alle drei gleichzeitig verschwinden, einen unendlich fernen Punkt oder, da hier der unendlich ferne Punkt als Grenzfall eines eigentlichen Strahls aufgefaßt wird, einen Punktstrahl. Der zugehörige geometrische Grenzübergang ist dieser: Läßt man einen eigentlichen Strahl in einem Parallelenbüschel ins Unendliche rücken, so geht er über in einen Punktstrahl oder Punkt, der zusammenfällt mit dem Scheitel des zweiten Parallelenbündels, das zu dem ersten orthogonal ist.
In diesem Strahlenkontinnum nun sind die erwähnten Transformationen überall wohldefiniert, eindeutig und stetig. Sie haben die weitere bemerkenswerte Eigenschaft, aus dem Normalennetz eines Strahls, d. i. der Gesamtheit aller Strahlen, welche einen gegebenen (die Achse) “rechtwinklig” schneiden, wieder ein Normalennetz hervorgehen zu lassen (ferner duale Doppelverhältnisse nicht zu ändern). Dabei wird nun aber die Achse des Normalennetzes im allgemeinen nicht in die Achse des transformierten Normalennetzes übergeführt. Mit der betrachteten Transformation ist also eine zweite verbunden, welche angibt, wie die Achsen entsprechender Normalennetze einander zugeordnet werden, und auch diese Transformationen werden in Strahlenkoordinaten erster Art oder in dualen Strahlenkoordinaten ausgedrückt durch ein System linearer Gleichungen: \[ U_i'={\mathfrak b}_{i1}U_1+{\mathfrak b}_{i2}U_2+{\mathfrak b}_{i3}U_3\quad (i=1,2,3). \] Dabei sind die Größen \({\mathfrak b}_{ik}\) proportional den Ausdrücken \(\frac{\partial \varDelta}{\partial {\mathfrak a}_{ik}}\), wo \(\varDelta = |{\mathfrak a}_{11}{\mathfrak a}_{22}{\mathfrak a}_{33}|\) ist.
Hieraus ergibt sich also die Notwendigkeit, das ganze Strahlenkontinuum mit zwei Blättern zu überdecken. Strahlen verschiedener Blätter werden “kontragredient” transformiert. Der hiermit eingeführte Begriff der Kontragredienz ist nahe verwandt mit dem in der Geometrie üblichen Begriff. Die Strahlen der beiden Blätter verhalten sich ähnlich zu einander wie die Punkte und Geraden in der ebenen Geometrie, und es ist z. B. der Inbegriff aller Strahlen des zweiten Blattes, die senkrecht stehen auf einem Strahl des ersten Blattes, analog dem Inbegriff aller reellen oder komplexen Geraden einer Ebene, die mit einem ebenfalls reellen oder komplexen Punkte vereinigt liegen.
Die allgemeinste kontinuierliche Gruppe von analytischen Strahlentransformationen, welchen als charakteristisch die Eigenschaft zukommt, aus einem Normalennetz eines Strahls wieder ein Normalennetz hervorgehen zu lassen und in dem beschriebenen Strahlenkontinuum eindeutig zu sein, ist eine solche von 17 Parametern \(G_{17}\), die Study radialprojektiv nennt. Diese \(G_{17}\) entsteht durch Erweiterung der Gruppe der dualen Kollineationen durch die Gruppe der \(\infty^7\) Ähnlichkeitstransformationen. Dieser Gruppe \(G_{17}\) ist die Gruppe der Kollineationen des \(R_8\) isomorph, welche die Mannigfaltigkeit \(M^3_4\) ungeändert lassen.
Der Unterschied zwischen dem Strahlenkontinuum und dem Plückerschen Linienkontinuum tritt besonders hervor, wenn man komplexe Werte der Koordinaten, imaginäre Strahlen und Geraden betrachtet.
Es gibt nämlich \(\infty^3\) imaginäre Strahlen (die sogenannten akzessorischen Strahlen), welche überhaupt nicht als imaginäre Geraden angesehen werden können. Es sind dies diejenigen Strahlen, deren Koordinaten \({\mathfrak X}_{01},{\mathfrak X}_{02},{\mathfrak X}_{03}\) von Null verschieden sind und den Bedingungen genügen: \[ {\mathfrak X}^2_{01}+{\mathfrak X}^2_{02}+{\mathfrak X}^2_{03}=0, \] \[ {\mathfrak X}_{01}{\mathfrak X}_{23}+{\mathfrak X}_{02}{\mathfrak X}_{31}+{\mathfrak X}_{03}{\mathfrak X}_{12}\neq 0. \] Ferner gibt es \(\infty^2\) eigentliche imaginäre Strahlen (die sogenannten Minimalstrahlen), denen gleich \(\infty^1\) viele imaginäre Gerade, bezw. Minimalgerade äquivalent sind. Die Koordinaten eines Minimalstrahls erfüllen die Gleichungen \[ {\mathfrak X}^2_{01}+{\mathfrak X}^2_{02}+{\mathfrak X}^2_{03}=0, \] \[ {\mathfrak X}_{01}{\mathfrak X}_{23}+{\mathfrak X}_{02}{\mathfrak X}_{31}+{\mathfrak X}_{03}{\mathfrak X}_{12} = 0. \] Der Inbegriff der \(\infty^3\) akzessorischen Strahlen wird als akzessorischer Komplex bezeichnet. In demselben ist die Gesamtheit der \(\infty^2\) Minimalstrahlen, oder die absolute Kongruenz, und ferner die Gesamtheit oder Kongruenz der \(\infty^2\) Punktstrahlen enthalten, ebenso der Durchschnitt dieser beiden Kongruenzen, der absolute Kegelschnitt.
Verf. entwickelt die Strahlengeometrie hinsichtlich der kontinuierlichen Gruppen und betrachtet folgende Strahlenmannigfaltigkeiten, unter denen die als “Ketten” bezeichneten Hauptachsenörter von linearen Gewindemannigfaltigkeiten mit aufgezählt sind.
Dreidimensionale Strahlenmannigfaltigkeiten, welche Komplexe heißen. Jeder analytische Komplex läßt sich, wie bewiesen wird, durch eine Gleichung in den Strahlenkoordinaten zweiter Art darstellen. Unter den algebraischen Komplexen betrachtet Verf. genauer die einfachsten, nämlich die planaren Komplexe, dargestellt durch die Gleichung \[ {\mathfrak A}_1{\mathfrak X}_1+{\mathfrak A}_2{\mathfrak X}_2+{\mathfrak A}{\mathfrak X}_3=0, \] und die quadratischen Komplexe, dargestellt durch: \[ ({\mathfrak A}_1{\mathfrak X}_1+{\mathfrak A}_2{\mathfrak X}_2+{\mathfrak A}_3{\mathfrak X}_3)^2+{\mathfrak P}_1{\mathfrak X}_{11}+{\mathfrak P}_2{\mathfrak X}_{22}+{\mathfrak P}_3{\mathfrak X}_{33}=0. \] Die nicht akzessorischen Strahlen eines planaren Komplexes gehören einem linearen Geradenkomplex an, dessen Gerade alle einer Ebene parallel sind. Die reellen eigentlichen Strahlen eines quadratischen Komplexes bilden einen speziellen quadratischen Geradenkomplex.
Für die Gleichung der Strahlenkomplexe sind zwei auch geometrisch erklärte ganze Zahlen \(\mu ,\nu\) wichtig. Sie sind für die Klassifikation der Komplexe hinsichtlich der \(G_{16}\) charakteristisch, und Verf. löst die Aufgabe, alle Typen zu gegebenen Zahlen \(\mu\) und \(\nu\) hinzuschreiben.
Zweidimensionale Strahlenmannigfaltigkeiten heißen Kongruenzen. Von diesen haben besonders merkwürdige Eigenschaften die “synektischen” Kongruenzen, die aplanaren und planaren Kettenkongruenzen. Die aplanaren Kettenkongruenzen lassen sich zu \(\infty^8\) Paaren anordnen, so daß jede Kongruenz aus den gemeinsamen Normalen von sämtlichen Strahlenpaaren der andern besteht. Die Strahlen der \(\infty^7\) planaren Kongruenzen lassen sich auf \(\infty^1\) Parallelenbüschel verteilen, von denen jedes einen der \(\infty^1\) Punktstrahlen der Kongruenzen enthält. Die synektischen Kongruenzen lassen sich wieder zu Paaren anordnen, und ihre reellen Strahlen sind identisch mit den Normalenkongruenzen paralleler abwickelbarer Flächen.
Eindimensionale Strahlenmannigfaltigkeiten nennt Verf. Bänder, da dieselben nämlich nicht notwendig identisch sind mit Flächen. Auch sie lassen sich im allgemeinen wieder zu Paaren anordnen, indem jedes Band ans den gemeinsamen Normalen je zweier konsekutiven Strahlen des andern besteht.
An dieser Stelle führen wir kurz einiges aus den gruppentheoretisehen Untersuchungen an. Die Gruppe \(G_{17}\) enthält als invariante Untergruppen:
1. die \(G_{16}\) der dualen Kollineationen,
2. eine kontinuierliche Gruppe \(G_9\), deren Transformationen die \(\infty^2\) Punktstrahlen einzeln in Ruhe lassen,
3. eine in dieser \(G_9\) enthaltene Untergruppe \(G_8\), deren Transformationen paarweise vertauschbar sind und duale Schiebungen heißen,
4. eine \(G_7\), deren Transformationen den akzessorischen Komplex in Ruhe lassen. Diese Transformationen sind dadurch charakterisiert, daß sie das Übereinanderliegen von Strahlen verschiedener Blätter nicht zerstören; sie fallen im reellen Gebiet zusammen mit der Gruppe \({\mathfrak g}_7\) der Ähnlichkeitstransformationen.
Diese Begriffsbildungen haben mit der Geometrie der Gewinde, Dynamen und Motoren etc. einen einfachen Zusammenhang.
Die Gesamtheit der linearen Transformationen im Gewinderaum nämlich (wo das Gewinde als Raumelement gesetzt ist) bildet eine Gruppe \(\varGamma_{35}\). Diese enthält eine Untergruppe \(\varGamma_{18}\), die koaxiale Gewinde in ebensolche überführt und durch diese Eigenschaft definiert ist. Fragt man dann, wie bei den Transformationen von \(\varGamma_{18}\) die Hauptachsen koaxialer Gewinde eines Büschels vertauscht werden, so kommt man auf die alte Gruppe \(G_{17}\). Daher ist mit einer Klassifikation der linearen Mannigfaltigkeiten von Gewinden gegenüber \(\varGamma_{18}\) zugleich eine Klassifikation der zugehörigen Örter von Hauptachsen dieser Gewinde gegenüber \(G_{17}\) geleistet.
Fragt man nach den einfachsten Bändern eigentlicher Strahlen, d. h. nach solchen, die Mannigfaltigkeiten von möglichst geringer Dimension bilden, so ergeben sich nächst den \(\infty^4\) Parallelenbüscheln, denen einige Paragraphen des Buchs gewidmet sind, noch \(\infty^7\) Bänder, die Ketten heißen. Diese Strahlenketten sind analog jenen \(\infty^7\) Ketten, die v. Staudt in die projektive Geometrie der Ebene eingeführt hat, und gleichzeitig deckt sich der Begriff der reellen Strahlenkette mit der Vereinigung der Begriffe des Zylindroids und des ebenen Büschels von Strahlen mit eigentlichem Mittelpunkt.
Der Begriff des Zylindroids, oder vielmehr der nur weniger umfassende Begriff der Strahlenkette erweist sich hiernach als ein Fundamentalbegriff der Geometrie, wodurch das Interesse verständlich wird, welches die Geometer immer jener Fläche zugewendet haben.
Die Gesamtheit der Normalen zu allen Strahlen einer Kette bildet den “Kettenkomplex”, der als zur Kette reziproke Figur bezeichnet wird.
Nach den Strahlenketten erfahren eine eingehende Untersuchung die Hauptachsenörter der zwei- und dreidimensionalen Gewindemannigfaltigkeiten, die Kettenkongruenzen und Kettenkomplexe. Es werden die geometrischen Bestimmungsweisen, die analytischen Darstellungen, sowie die Abbildungen der Ketten auf Mannigfaltigkeiten im \(R_8\) und ihr gegenseitiges Verhältnis angegeben und diskutiert.
Zu sehr interessanten Resultaten gelangt Verf. dadurch, daß er an Stelle des Strahls die aplanare Kettenkongruenz und den Parallelenbüschel als Raumelemente wählt. Im ersten Fall ergibt sich dabei aus der Punkt- und Streckenrechnung des \(R_8\) die sogenannte geometrische Addition der aplanaren Kettenkongruenzen. Setzt man die aplanare Kettenkongruenz und den eigentlichen Punkt des \(R_3\) analog, so ergibt sich eine direkte Parallele der radial-projektiven und der Euklidischen Geometrie des \(R_3\). Der Gruppe \(G_{17}\) entspricht dann die \({\mathfrak g}_7\) der Ähnlichkeitstransformationen in der Euklidischen Geometrie.
Für die aplanaren Kettenkongruenzen werden im Anschluß an die Besprechung der metrischen Eigenschaften der linearen Systeme von Gewinden und deren Klassifikation die Brennflächen, Grenzflächen und Fußpunktflächen zu bestimmten Punkten des Raumes aufgestellt und diskutiert. Durch Einführung von Parametern \(\lambda\) und \(\mu\) für gewisse Flächensysteme (die sogenannten Parameterflächen) lassen sich die Linien der aplanaren Kettenkongruenzen in analoger Weise darstellen, wie man Punkte der Ebene durch elliptische Koordinaten bestimmen kann. Mit diesen Koordinaten gelingt z. B. das schwierige Problem der Integration derjenigen Differentialgleichung, von welcher die Zusammenfassung von Kongruenzlinien zu abwickelbaren Flächen abhängt.
Am Schluß des dritten Abschnittes kommt Verf. wieder auf die Kinematik zurück. Als Anwendung der Klassifikation der linearen Gewindesysteme ergibt sich die Lösung der bisher noch nirgends behandelten Aufgabe, die verschiedenen Arten von Freiheit eines starren Körpers im Infinitesimalen zu klassifizieren.
Im Anhang skizziert der Verf. eine neue Methode der Kinematik, d. h. des “Studiums der (analytischen) Mannigfaltigkeiten von \(\infty^r\) (\(r = 1, 2,\dots , 6\)) Lagen eines starren Körpers im \(R_3\)”, wobei es sich um die Beweglichkeit im Endlichen handelt.
Der starre Körper kann ersetzt werden durch drei einander rechtwinklig schneidende orientierte Gerade, mit welchen ein kartesisches Koordinatensystem verbunden ist. Dieses System kann \(\infty^6\) Lagen annehmen, von denen jede einzelne ein Soma und eine beliebige, aber bestimmt gewählte Lage ein Protosoma heißt. Verf. leitet nun zunächst aus den Koordinatentransformationsformeln die Bemerkung ab, daß das Soma durch ein System von vier dualen Verhältnisgrößen, als Koordinaten, gegeben werden kann, also durch: \[ X_0={\mathfrak X}_0+{\mathfrak X}_{123}\cdot\varepsilon \] \[ X_1={\mathfrak X}_{01}+{\mathfrak X}_{23}\cdot\varepsilon,\quad X_2={\mathfrak X}_{02}+{\mathfrak X}_{31}\cdot\varepsilon,\quad X_3={\mathfrak X}_{03}+{\mathfrak X}_{12}\cdot\varepsilon. \] In dieser Darstellung erweist sich also das Soma als eine Erweiterung des Begriffs des reellen Strahls, und es ergibt sich eine Geometrie der Somen, welche analog ist der radial-projektiven Geometrie und diese umfaßt.
Den dualen Kollineationen entsprechend wird man zunächst zu einer kontinuierlichen Gruppe von linearen Transformationen mit dualen Koeffizienten \(G_{30}\) geführt, und diese, zusammen mit der kontinuierlichen Gruppe \({\mathfrak g}_7\) von Ähnlichkeitstransformationen der Somen, ergibt die kontinuierliche Gruppe \(G_{31}\) der “projektiven Transformationen der Somen”. Diese umfassende Gruppe ist geometrisch dadurch definiert, daß sie alle analytischen Transformationen der Somen umfaßt, welche aus dem Inbegriff der zu irgend einem Soma “symmetralen” Somen stets wieder einen solchen Inbegriff hervorgehen lassen. Dabei bezeichnet Verf. zwei Somen als zu einander symmetral, wenn sie durch eine Umwendung zur Deckung kommen.
Die Untersuchung der Lagen eines starren Körpers, dessen Bewegungen noch \(r\) Grade der Freiheit im Endlichen gelassen sind, ist offenbar identisch mit dem Studium der \(r\)-dimensionalen Somenmannigfaltigkeiten hinsichtlich der \(G_{31}\). Eine relativ einfache Aufgabe, welche Verf. löst, ist diese, die sogenannten Somenketten \(C_r\) in bezug auf die \(G_{31}\) zu klassifizieren und durch geometrische Konstruktionen zu erzeugen. Somenketten sind solche analytischen Mannigfaltigkeiten von \(\infty^r\) Somen, für die \({\mathfrak X}_0,\dots ,{\mathfrak X}_{12}\) als lineare homogene Funktionen von \(r + 1\) Parametern darstellbar sind, also z. B. die Mannigfaltigkeiten, die man durch die Gruppen der Schiebungen aus einem Soma erhält.
Indem Study wieder den Raum mit Somen doppelt überdeckt, zwei Blätter unterscheidet, lassen sich Reziprozitätsbeziehungen definieren, durch welche die Somenmannigfaltigkeiten paarweise zusammengefaßt werden und die Konstruktionen der Ketten übersichtlicher sich gestalten.
Wie für die radial-projektive Geometrie stellt sich auch für die Geometrie der Somen hinsichtlich der \(G_{31}\) die Notwendigkeit ein, ein natürliches abgeschlossenes Kontinuum der Somenmannigfaltigkeit zu definieren; dies geschieht durch die Einführung des Begriffs “Parasoma”, das dem Punktstrahl analog ist.
Außer der Gruppe \(G_{31}\) betrachtet Verf. noch eine gemischte Gruppe \(G_{28},H_{28}\) von analytischen Transformationen, welche die charakteristische Eigenschaft haben, “konsekutiven eigentlichen Somen, die durch eine infinitesimale Drehung (Schiebung) in einander übergeführt werden können, Somen gleicher Eigenschaft zuzuordnen”.
In der Gruppe \(G_{28}\) ist neben anderen Gruppen eine gemischte Gruppe \(G_{12},H_{12}\) von solchen synektischen Transformationen enthalten, welche die dualquadratische Form \[ (XX)=X_0^2+X^2_1+X^2_2+X^2_3 \] nur um einen dualen Faktor ändern. Verf. wird hier anschließend zu der Bemerkung geführt, daß in der Geometrie dieser Gruppe die Formeln und Sätze der nichteuklidischen Geometrie im Raum positiver Krümmung eine neue Deutung finden.
Einen besonderen Hinweis möchte Ref. noch machen auf die Erörterungen über die Äquivalenzbegriffe der Kinematik und Mechanik. Das Genauere muß im Buche selbst nachgelesen werden.
Die gewählte Darstellung ist sehr klar, wenn auch das Studium des Buches, das eine ganze große Theorie umspannt, nicht gerade leicht ist. Die Schwierigkeit liegt auch in der Fülle neuer Resultate und den vielen eigenartigen Methoden.