Recherches sur l’hydrodynamique. Première Partie. Sur les principes fondamentaux de l’hydrodynamique. Deuxième Partie. Sur la propagation des ondes. (French) JFM 33.0770.01

Duhem, P.

Toulouse Ann. (2) 3, 315-431 (1901); 4, 101-169 (1902).

Die Einleitung zum ersten Teile lautet: “Indem die Thermodynamik der theoretischen Mechanik eine ganz neue Form gibt, und zwar eine viel allgemeinere, als sie bisher erhalten hatte, nötigt sie uns zu einer Revision aller Wissenschaften, welche man ehedem als Zweige der Mechanik ansah. In verschiedenen Veröffentlichungen (man vergleiche vornehmlich: Le potentiel thermodynamique et la pression hydrostatique. Ann. de l’Éc. Norm. (3) 10, 183-230, 1893) haben wir bereits eine derartige Revision bezüglich der Prinzipien der Hydrostatik unternommen. Gegenwärtig beabsichtigen wir, die Grundlagen der Dynamik einer ähnlichen Analyse zu unterwerfen.” In der Einleitung zum zweiten Teile heißt es: “Die jetzt aufzuwerfende Frage ist die folgende: Sind die Integrale der hydrodynamischen Gleichungen im ganzen Raume stetig und analytisch? Wenn sie längs gewisser Flächen aufhören, stetig zu sein oder analytisch zu sein, welches sind die Eigenschaften dieser Flächen?”
Gegenüber einer Arbeit von dem Umfange der vorliegenden, die sich gewissermaßen als ein neues Lehrbuch ankündigt, und die auch fortwährend auf die Veröffentlichungen des Verf. aus dem letzten Jahrzehnt verweist, befindet sich die Berichterstattung in Verlegenheit. Um nichts fortzulassen, wollen wir einfach das Inhaltsverzeichnis geben.
Erster Teil. Kap. 1. Die Gleichungen der Bewegung der Flüssigkeiten. \(\S\) Wie man von den Gleichungen des Gleichgewichts eines Systems zu den Gleichungen der Bewegung des Systems übergeht. Von der Zähigkeit im allgemeinen. \(\S\) 2. Von der Zähigkeit in einem Körper, der eine homogene Deformation erfährt. \(\S\) 3. Von der Zähigkeit im Innern einer flüssigen Masse. \(\S\) 4. Natur der Aktionen, denen die durchforschten Flüssigkeiten unterworfen werden. Gleichungen für die Bewegung dieser Flüssigkeiten. \(\S\) 5. Die auf die Eulersche und Naviersche Gestalt gebrachten Bewegungsgleichungen. Notwendigkeit einer ergänzenden Beziehung. \(\S\) 6. Die durch jedes der Flüssigkeitselemente frei gelassene Wärme. \(\S\) 7. Aufstellung der ergänzenden Beziehung. \(\S\) 8. Von den nicht zusammendrückbaren Flüssigkeiten.
Kap. II. Die Gleichung der lebendigen Kräfte. \(\S\) 1. Verschiedene Fälle, in denen ein Integral der lebendigen Kräfte besteht. Form dieses Integrals. \(\S\) 2. Von der Rolle der Funktion \(\varPhi\) in der Hydrostatik. \(\S\) 3. Von der Stabilität des Gleichgewichtes. \(\S\) 4. Isothermische und isentropische Stabilität. \(\S\) 5. Umkehrung des Kriteriums der Stabilität. Folgen dieses Kriteriums.
Kap. III. Gebräuchliche Form der hydrodynamischen Gleichungen. \(\S\) 1. Natur der äußeren Aktionen, die in diesem Kapitel betrachtet werden sollen. \(\S\) 2. Transformation der hydrodynamischen Gleichungen.
Zweiter Teil. Kap. I. Von den Stoßwellen. \(\S\) 1. Kinematische Betrachtungen. \(\S\) 2. Ausdehnung der Prinzipien der Hydrodynamik auf den Fall, in welchem die Geschwindigkeiten Unstetigkeiten aufweisen. \(\S\) 3. Anwendung der vorangehenden Gleichheit auf eine Stoßwelle. \(\S\) 4. Von der Zähigkeit in einer Stoßwelle. \(\S\) 5. Fall, in welchem eine zähe Flüssigkeit eine Stoßwelle nicht fortpflanzen kann. \(\S\) 6. Fall, in welchem eine Stoßwelle sich in einer Flüssigkeit ausbreiten kann. \(\S\) 7. Die ergänzende Beziehung. Fall der gut leitenden Flüssigkeiten. \(\S\) 8. Die ergänzende Beziehung. Fall der schlecht leitenden Flüssigkeiten. \(\S\) 9. Von den Oberflächen, längs denen zwei flüssige Massen über einander gleiten. \(\S\) 10. Die Unstetigkeitsflächen in den inkompressiblen Flüssigkeiten. \(\S\) 11. Von den Unstetigkeitsflächen, längs denen zwei flüssige Massen an einander adhärieren.
Kap. II. Die Methode von Hugoniot. \(\S\) 1. Verschiedene Definitionen. Die beiden Lemmata Hugoniots. \(\S\) 2. Ausdruck für die Verschiebungsgeschwindigkeit \({\mathfrak R}\) bei den Wellen der verschiedenen Ordnungen. \(\S\) 3. Verschiedene Anwendungen der Hugoniotschen Methode. \(\S\) 4. Die Parameter von Hadamard. \(\S\) 5. Welle, die einen Vektor ausbreitet. – Hadamardsche Vektoren.
Kap. III. Von den Wellen in den zähen Flüssigkeiten. \(\S\) 1. Von den Wellen erster Ordnung in bezug auf gewisse Elemente der Bewegung. \(\S\) 2. Von den Wellen zweiter Ordnung in bezug auf gewisse Elemente der Bewegung. \(\S\) 3. Von den Wellen dritter Ordnung in bezug auf gewisse Elemente der Bewegung.
Kap. IV. Von den Wellen in den vollkommenen Flüssigkeiten. \(\S\) 1. Einige thermodynamische Eigenschaften der Flüssigkeiten ohne Zähigkeit. \(\S\) 2. Fortpflanzung der Wellen innerhalb der vollkomenen Flüssigkeiten. Gebrauch der Eulerschen Gleichungen. \(\S\) 3. Die Lagrangesche Methode. – Kinematische Betrachtungen. \(\S\) 4. Fortpflanzung der Wellen innerhalb der vollkommenen Flüssigkeiten. Gebrauch der Lagrangeschen Methode.
Viele der hier im Zusammenhange dargestellten Untersuchungen sind in den letzten Jahren vom Verf. in einzelnen Noten der C. R. veröffentlicht und hiernach im Jahrbuche besprochen worden. Um aber auch hier zu einem Schlusse zu gelangen, führen wir die Betrachtungen am Ende des zweiten Teiles wörtlich an.
“Beim Abschlusse des ersten Teiles dieser Untersuchungen haben wir den ungemein beschränkten und besonderen Charakter der Fälle hervorgehoben, in denen die Bewegung der Flüssigkeiten für die gewöhnlichen Methoden der Hydrodynamik zugänglich ist. Man könnte meinen, daßdiese Einschränkungen, welche die meisten sogenannten allgemeinen Gesetze der Hydrodynamik belasten, in gleicher Weise die Erforschung der Fortpflanzung der Wellen beengen würden. Tatsächlich haben Hugoniot und Hadamard diese Erforschung nur unter der Voraussetzung der Existenz der im ersten Teile definierten Funktionen \(\varLambda\) in Angriff genommen; außerdem haben sie angenommen, daßdie Einwirkungen Newtonsche sind und die Flüssigkeit nicht zäh ist.
Solche Einschränkungen beeinflussen zum Glück das Problem der Fortpflanzung ständiger Wellen nicht; dieses Problem kann mit einer Allgemeinheit behandelt werden, die keine andere Grenze hat als die Allgemeinheit selbst der fundamentalen Gleichungen der Hydrodynamik. Man kann behaupten, daßdie vollständige Lösung dieses Problems, welche wir gegeben haben, das einzige wirklich allgemeine Theorem bildet, das man in der Hydrodynamik erhalten hat. Insbesondere haben wir ein Theorem erhalten, das für alle möglichen Flüssigkeiten, zähe oder nicht zähe, leitende oder nicht leitende, genau gilt. Allein die Flüssigkeiten, die zugleich zäh; unzusammendrückbar und gute Wärmeleiter sind, hat man auszunehmen. Dieses Theorem lautet: Bei jeder Flüssigkeit kann man Wellen beliebiger Ordnung bemerken, welche unaufhörlich die beiden selben Flüssigkeitsmassen trennen und somit sich nicht fortpflanzen.
Unter den Erscheinungen, welche derartige Wellen in aller Reinheit bekunden, kann man außer den längst bekannten Fällen der Wirbel und der Strahlen die Fortpflanzung der Wärme durch Konvektion innerhalb einer flüssigen Masse anführen, die unter dem experimentellen Gesichtspunkte von Bénard 1900 so gut untersucht ist. Die seltsamen Zellen, deren Bildung dieser Physiker beobachtet hat, finden ihre unmittelbare Erklärung in dem obigen Theorem.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Kapitel 4. Dynamik. B. Hydrodynamik.