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Zur Theorie der Differential-Invarianten. (German) JFM 34.0145.01
Die Variationsrechnung führt zu der Aufgabe: Sei gegeben eine reguläre Funktion von \(2 (n + 1)\) Argumenten \(\varphi(x, y; x' y';\dots; x^{(n)}, y^{(n)}\), in der \(x, y\) von einem Parameter \(t\) abhängen und \(x^{(k)}, y^{(k)}\) die \(k\)-ten Ableitungen nach \(t\) bedeuten; man soll entscheiden, wann \(\varphi\) für jeden bestimmten Wert von \(x\) und \(y\) einen bestimmten, von der Wahl des Parameters \(t\) unabhängigen Wert besitzt. Dehnt man die Frage aus auf mehrere abhängige Variabeln \(x, y, z, \dots\), andererseits auf mehrere Parameter, so werden die den Bedingungen des Problems genügenden Funktionen im wesentlichen identisch mit den “Differentialinvarianten” einer Fläche, resp. eines mehrdimensionalen Gebildes. Dies führt zugleich zu einem allgemeinen Kriterium, wann eine zu untersuchende Funktion eine Differentialinvariante ist, also in jedem Punkte der “Fläche” einen von der speziellen Wahl der krummlinigen Koordinaten unabhängigen Wert besitzt.
Seien \(m\) Funktionen \(x\) von \(r\) Parametern \(u\) vorgelegt, die für einen gewissen Bereich \((U)\) derselben regulär sein sollen; seien ferner die \(u\) umkehrbare Funktionen von \(r\) neuen Parametern \(t\), sodaß dadurch der Bereich \((U)\) auf einen Bereich \((T)\) der \(t\) abgebildet wird. Die \(x\), die ein Gebilde \((X)\) definieren heißen dessen kartesische, die \(u\) dessen krummlinige Koordinaten. Ferner sei \[ J=\varphi(x; x^{(k_1)}; x^{(k_1, k_2)}; \dots, x^{(k_1, k_2, \dots, k_n)}) \] eine Funktion der \(x\) und ihrer Ableitungen nach den \(u\) bis zur \(n\)-ten Ordnung; \(\varphi\) ist eine “Invariante \(n\)-ter Ordnung”, wenn \(\varphi\) für jeden Punkt von \((X)\) einen von der Darstellung desselben unabhängigen Wert \(J\) besitzt. Die Einführung der neuen Parameter \(t\) zeigt, daß es bei der Untersuchung einer gegebenen Funktion auf ihre Invarianteneigenschaft nicht nötig ist, auf ihre Abhängigkeit von den \(x\) einzugehen; Funktionen \(\varphi\) der Ordnung Null sind von vornherein Invarianten.
Es wird zuvörderst ein Kriterium der Invarianten erster Ordnung \(J=\varphi \left(\frac{\partial x_i}{\partial u_k} \right)\) entwickelt. Man erkennt bald, daß für \(r \geqq m\) überhaupt keine Invariante erster Ordnung existiert.
Für \(r < m\) hat \(\varphi\) einem gewissen System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung zu genügen. Die Integration desselben führt zu dem Satze, daß sich jede Invariante erster Ordnung darstellen läßt als eine homogene Funktion der Dimension Null der Funktionaldeterminanten \(r\)-ten Grades der Matrize \(\left|\frac{\partial x_i}{\partial u_k} \right|\); die Anzahl aller unabhängigen Argumente der Invariante ist \(mr-r^2\).
Es folgen Anwendungen auf besondere Fälle. Für eine Kurve in der Ebene, resp. im Raume ist jede Invariante erster Ordnung von der Form \(\varphi \left(x, y, \frac{dy}{dx}\right)\), resp. \(\varphi \left(x, y, z, \frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx} \right)\), unter \(\varphi\) eine beliebige Funktion verstanden.
Bei zwei Parametern \(u, v\) und drei Variabeln \(x, y, z\) sind die Determinanten der Matrize \[ \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix} \] die bekannten Größen \(D_1 = D(y, z), D_2 = D (z, x), D_3 = D (x, y)\). Setzt man \(D_1^2+D_2^2+D_3^2=a\), so sind \[ X=\frac{D_1}{\sqrt{a}}\,,\quad Y=\frac{D_2}{\sqrt{a}}\,,\quad Z=\frac{D_3} {\sqrt{a}} \] Invarianten. Jede Invariante erster Ordnung läßt sich als eine Funktion von \(X, Y, Z\) darstellen.
Tritt noch eine vierte Variable \(\varphi\) hinzu, so sind die \(X, Y, Z\) zu vermehren um die drei Beltramischen \(\vartheta\)-Invarianten \[ \vartheta (x, \varphi)=\frac{D(x, \varphi)}{\sqrt{a}},\quad \vartheta(y, \varphi)=\frac{D(y, \varphi)}{\sqrt{a}},\quad \vartheta(z, \varphi)=\frac{D(z, \varphi)}{\sqrt{a}}\,. \]
Hier ist \(X=\vartheta(y,z)\), \(Y=\vartheta(z,x),\) \(Z=\vartheta(x, y)\), und jede Invariante erster Ordnung ist durch die sechs \(\vartheta\)-Invarianten darstellbar, die an zwei Relationen zweiten Grades gebunden sind. Der Beltramische Differentialparameter \(\triangle \varphi\) ergibt sich einfach in der Form \(\varSigma \vartheta^2(x, \varphi)\).
Für eine weitere abhängige Variable \(\psi\) treten die neuen \(\vartheta\)-Invarianten \( \vartheta(\varphi, \psi)=\frac {D(\varphi, \psi)}{\sqrt{a}}\) hinzu. Im besonderen stellt \[ \triangle (\varphi, \psi)=\varSigma \vartheta(x, \varphi) \cdot \vartheta(x, \psi) \] den Beltramischen Zwischenparameter dar.
Entsprechendes gilt für eine sechste abhängige Variable \(\chi\). Spezialisiert man \(\varphi, \psi, \chi\) zu \(X, Y, Z\), so erhält man u. a. das Ergebnis, daß die drei Quotienten \(\frac{\vartheta(Y, Z)}{\vartheta(y, z)},\;\frac{\vartheta(Z, X)} {\vartheta(z, x)},\;\frac {\vartheta(X, Y)}{\vartheta(x, y)}\) einen und denselben Wert \(K\) besitzen, der nichts anderes ist als das Gaußsche Krümmungsmaß. Ferner wird der zweite Beltramische Differentialparameter \(\triangle_2 \varphi\) geliefert durch \(\varSigma \vartheta \{x, \vartheta(x, \varphi)\}\) und die mittlere Krümmung \(H\) durch \(\varSigma \vartheta(y, z) \{\vartheta(y, Z)+\vartheta(z, Y)\}\).
Für die Theorie der Invarianten höherer Ordnung ist der Satz grundlegend, daß jede Invariante durch wiederholte Anwendung der invarianten \(\vartheta\)-Operation erster Ordnung erzeugbar ist.
Zum Schluß folgen noch einige Bemerkungen über solche Invarianten der Fläche, die zugleich von der Wahl der orthogonalen kartesischen Koordinaten unabhängig sind. Jede solche “Fundamentalinvariante” ist eine Funktion gewisser Fundamentalargumente.
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