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Definitions of a field by independent postulates. (English) JFM 34.0160.02
Verf. definiert als Feld (Körper) eine Gesamtheit \(G\) von Elementen, die durch die zwei Operationen \(\bigcirc\) (Multiplikation) und \(\square\) (Addition) miteinander verknüpfbar sind, wenn für die Elemente von \(G\) die folgenden neun Postulate gelten:
1. Sind \(a\) und \(b\) Elemente aus \(G\), so soll \(a \square b\) der Gesamtheit \(G\) angehören.
2. Gehören \(a \square b\) und \(b \square a\) der Gesamtheit \(\and\) an, so soll \(a \square b=b \square a\) sein.
3. Gehören \(a \square b,\;b \square c,\;(a \square b)\square c\) und \(a \square (b \square c)\) der Gesamtheit \(G\) an, so soll \(a \square (b \square c)=(a \square b)\square c\) sein.
4. Für irgend zwei Elemente \(a\) und \(b\) aus \(G\) existiert stets in \(G\) ein Element \(x\), daß \((a \square x)\square b=b\) wird.
5. Sind \(a\) und \(b\) Elemente aus \(G\), so gehört \(a \bigcirc b\) auch \(G\) an.
6. Gehören \(a \bigcirc b\) und \(b \bigcirc a\) der Gesamtheit \(G\) an so soll \(a \bigcirc b=b \bigcirc a\) sein.
7. Gehören \(a \bigcirc b,\;b \bigcirc c,\;(a \bigcirc b) \bigcirc c\) und \(a \bigcirc (b \bigcirc c)\) der Gesamtheit \(G\) an, so soll \(a \bigcirc (b \bigcirc c)=(a \bigcirc b) \bigcirc c\) sein.
8. Für irgend zwei Elemente \(a\) und \(b\) aus \(G\), für die wenigstens ein Element \(c\) in \(G\) vorhanden ist daß \(c\bigcirc a \neq a\) wird, soll \(G\) ein Element \(x\) enthalten, daß \((a \bigcirc x) \bigcirc b=b\) wird.
9. Gehören \(b \square c,\;a \bigcirc b,\;a \bigcirc c,\;a \bigcirc (b \square c)\) und \((a \bigcirc b) \square (a \bigcirc c)\) dem System \(G\) an, so soll \(a \bigcirc (b \square c)=(a \bigcirc b) \square (a \bigcirc c)\) sein.
Die neun Postulate werden als voneinander unabhängig erwiesen, d. h. Verf. zeigt, es lassen sich Gesamtheiten \(G\) konstruieren, die beliebige acht der neun Postulate, hingegen nicht sämtlichen neuen Postulate gültig sind. Die angegebene Definition des Feldes die keine überflüssigen Bestandteile enthält, stimmt wie Verf. zeigt mit der gewöhnlichen überein nach der ein in bezug auf die rationalen Operationen in sich abgeschlossenes Elementensystem von den Amerikanern ein Feld, von den Deutschen ein Körper oder Rationalitätsbereich genannt wird. Dickson definiert das Feld auch noch auf eine zweite Weise durch elf unabhängige Postulate: aus dieser zweiten Definition ergibt sich die Übereinstimmung mit der gewöhnlichen Definition einfacher als bei der ersten durch neun Postulate.

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