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Definitions of a field by sets of independent postulates. (English) JFM 34.0161.01

Die Arbeit verfolgt die gleiche Tendenz wie die von L. E. Dickson (Referat vorstehend (JFM 34.0160.02)). Verf gibt acht verschiedene Definitionen eines Feldes, von denen jede keine überflüssigen Bestandteile enthält und als mit der gewöhnlichen übereinstimmend erwiesen wird. Eine der acht Definitionen führt den Begriff des Feldes auf Grund von sieben, drei auf Grund von acht, drei auf Grund von neun und eine auf Grund von zehn Postulaten ein. Beispielsweise möge die Definition durch sieben Postulate angegeben werden. Das Feld wird als eine Gesamtheit \(G\) von Elementen, die durch zwei Operationen \(\bigcirc\) (Multiplikation) und \(\square\) (Addition) verknüpfbar sind, erklärt, so daß für die Elemente die folgenden Postulate gelten:
1. Sind \(a, b\) und \(b \square a\) Elemente aus \(G\) so soll \(a \square b=b \square a\) sein.
2. Sind \(a, b, c\), \(a \square b\), \(b \square c\) und \(a \square (b \square c)\) Elemente aus \(G\), so soll \((a \square b) \square c=a \square (b \square c)\) sein.
3. Für irgend zwei Elemente \(a\) und \(b\) aus \(G(a=b\) oder \(a\neq b\)) soll in \(G\) stets ein Element \(x\) existieren, daß \(a \square x=b\) wird.
4. und 5. Man ersetze in 1. und 2. die Operation \(\square\) durch \(\bigcirc\).
6. Für irgend zwei Elemente \(a\) und \(b\) aus \(G(a=b\) oder \(a\neq b\)) soll, wenn \(a\square a\neq a\) und \(b\square b\neq b\) ist, in \(G\) ein Element \(y\) existieren, daß \(a \bigcirc y=b\) wird.
7. Sind \(a, b, c, b \square c\), \(a \bigcirc b\), \(a \bigcirc c\) und \((a \bigcirc b) \square (a \bigcirc c)\) Elemente aus \(G\), so soll \(a \bigcirc(b \square c)=(a \bigcirc b) \square(a \bigcirc c)\) sein.
Die angeführten sieben Postulate – das gleiche gilt auch für die anderen sieben vom Verf. gegebenen Definitionen des Feldes – bleiben auch noch voneinander unabhängig, wenn man zu ihnen das Postulat hinzufügt, daß \(G\) unendlich viele Elemente enthalten soll. Es sei noch erinnert, daß es auch endliche Felder gibt; jedes endliche Feld ist nach einem bekannten Mooreschen Satze ein Galoissches, bei dem die Anzahl der Elemente gleich einer Primzahlpotenz ist.

Citations:

JFM 34.0160.02
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