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Two definitions of an Abelian group by sets of independent postulates. (English) JFM 34.0162.01
Verf. definiert als Abelsche Gruppe eine Gesamtheit \(G\) von Elementen, die durch eine Operation \(\bigcirc\) miteinander verknüpfbar sind, wenn für die Elemente von \(G\) die folgenden drei Postulate gelten:
1. Sind \(a, b\) und \(b \bigcirc a\) Elemente aus \(G\), so soll \(a \bigcirc b=b \bigcirc a\) sein.
2. Sind \(a, b, c\), \(a \bigcirc b\), \(b \bigcirc c\) und \(a \bigcirc (b \bigcirc c)\) Elemente aus \(G\), so soll \((a \bigcirc b) \bigcirc c=a \bigcirc (b \bigcirc c)\) sein.
3. Für irgend zwei Elemente \(a\) und \(b\) aus \(G\) (\(a=b\) oder \(a\neq b\)) gibt es in \(G\) stets ein Element \(x\), daß \(a \bigcirc x=b\) wird.
Die drei Postulate werden als voneinander unabhängig erwiesen und bleiben es auch noch, wenn man hinzunimmt, \(G\) soll eine endliche oder unendliche Anzahl von Elementen enthalten. Verf. gibt noch eine von der obigen verschiedene Definition einer Abelschen Gruppe durch vier unabhängige Postulate, wobei unter den verwandten Postulaten die Abgeschlossenheit der Elemente von \(G\) inbezug auf die Operation \(\bigcirc\) auftritt. – In einer Nachschrift geht Verf. auf seine Definition einer beliebigen Gruppe durch drei unabhängige Postulate (American M. S. Bull. {(2)} \(8\), 296; F. d. M. \(33\), 142, 1902, JFM 33.0142.02) ein und ersetzt auf Grund eines Aufsatzes von E. H. Moore (American M. S. Trans. \(3\), 485; F. d. M. \(33\), 142, 1902, JFM 33.0142.01) die Fassung seines früheren Postulats über den assoziativen Charakter der Gruppenelemente durch eine schwächere.

MSC:
20Kxx Abelian groups
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