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Ternary orthogonal group in a general field. (English) JFM 34.0162.02

Chicago University Press. 8 S. \(4^{\circ}.\) (1903).
Verf. untersucht die orthogonale Gruppe linearer homogener Substitutionen der Determinante \(+ 1\) in drei Variablen für den Fall, daß die Koeffizienten ausnahmslos einem beliebigen Körper oder Feld \(F\) angehören. Enthält \(F\) die imaginäre Einheit \(i\), so ist die fragliche Gruppe, die mit \(O(3, F)\) bezeichnet sei, holoedrisch isomorph mit der linear gebrochenen Gruppe \(G:z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\) \((\alpha\delta-\beta\gamma\#0)\), wobei \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) beliebige Zahlen aus \(F\) bedeuten. \(G\) enthält eine invariante Unterruppe \(J\), die von allen Transformationen gebildet wird, bei denen \(\alpha \delta -\beta \gamma=+1\) ist. Ist \(F\) der Körper aller reellen und imaginären Zahlen, so sind die Gruppen \(J\) und \(G\) identisch, da dann jede Zahl aus \(F\) in \(F\) ein Quadrat ist. Für diesen Körper ist also \(O(3, F)\) mit der speziellen linear gebrochenen, einfachen Gruppe \(z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}(\alpha \delta-\beta \gamma=+1)\) holoedrisch isomorph. Für \(O(3, F)\) werden Erzeugende angegeben.
Enthält der Körper \(F\) nicht die imaginäre Einheit \(i\), so ist \(O(3, F)\) holoedrisch isomorph mit der Gruppe \(G_1:z'=\frac{\alpha z+\beta}{-\sigma \overline{\beta} z+\sigma \overline{\alpha}},\) wobei \(\alpha, \beta, \sigma\) dem durch Adjunktion von \(i\) zu dem Körper \(F\) entstehenden erweiterten Körper angehören. Es ist \(\sigma \overline{\sigma}=+1\), \(\alpha\overline\alpha+\beta\overline\beta\#0\), \(a\) und \(\overline{a}\) bedeuten allgemein konjugiert imaginäre Größen. \(G_1\) hat die Gruppe \(H_1\), aller derjenigen Transformationen von \(G_1\), bei denen \(\alpha \overline{\alpha}+\beta \overline {\beta}=+1\) ist, zur Untergruppe. (Offenbar transformiert \[ z_1'=\alpha z_1+\beta z_2,\;z_2'=-\sigma \overline{\beta} z_1+ \sigma \overline{\alpha} z_2, \] für \(\sigma \overline{\sigma}=+1\), \(\alpha \overline{\alpha} +\beta \overline{\beta}=+1\) die definite Hermitesche Form \(z_1 \overline{z_1}+z_2 \overline{z_2}\) in sich.) \(H_1\) hat \(z'=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline\beta z+\overline{\alpha}}\;(\alpha \overline{\alpha}+\beta \overline{\beta}=+1)\) zur invarianten Untergruppe \(J_1\). Für den Körper aller reellen Zahlen kann \(\sigma=+1\) gewählt werden, und \(O(3, F)\) ist für diesen Körper mit \(J_1\) holoedrisch isomorph.
Verf. schließt sich der Art der Darstellung an die sich für den Fall, daß \(F\) der Körper aller reellen und aller imaginären Zahlen oder bloß der aller reellen Zahlen ist, in H. Webers Algebra, Bd. II, S. 249 der zweiten Auflage (1899) findet. Den Fall, daß \(F\) ein Galoissches Feld \(GF[p^n]\) ist, findet man in des Verf. Linear groups with an exposition of the Galois field theory. Leipzig (1901). S. 164.