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Groups defined for a general field by the rotation groups. (English) JFM 34.0163.01

Chicago University Press. 17 S. \(4^{\circ}.\) (1903).
Zu jeder endlichen abstrakten Gruppe \({\mathfrak H}\) der Ordnung \(h\) mit den Elementen \(S_1, S_2, \dots, S_h\) gehört eine Matrix \(h\)-ten Grades: \[ (x_{S_i S_k^{-1}}) \] der \(h\) unabhängigen Variablen \(x_{S_1}, x_{S_2}, \dots, x_{S_h}\), die Gruppenmatrix. Faßt man die \(h\) Größen \(x_{S_1}, x_{S_2}, \dots, x_{S_h}\) als \(h\) unabhängig variable Parameter auf, so definiert die obige Matrix eine zu \({\mathfrak H}\) gehörige, endliche kontinuierliche Transformationsgruppe \({\mathfrak G}\) \[ \xi_i'=\sum_{k=1}^{k=h} x_{S_1 S_k^{-1}}\xi_k \qquad (i=1, 2, \dots, h), \] und man gewinnt den Standpunkt, von dem W. Burnside die von Frobenius stammende Theorie der Gruppenmatrix im Zusammenhang mit der Theorie der endlichen kontinuierlichen Gruppen von neuem zu entwickeln versucht hat. Verf. hat in seiner Arbeit “On the group defined for any given field by the multiplication table of any given finite group” (American M. S. Trans. \( 3\), 285-301; F. d. M. \(33\), 150, 1902,JFM 33.0150.01) die \(h\) Parameter auf ein beliebiges Feld (Körper) beschränkt und auf diese Weise der Gruppe \({\mathfrak H}\) eine Gruppe linearer homogener Substitutionen \({\mathfrak G}\) mit Koeffizienten aus \(F\) zugeordnet, so daß die Gruppe \({\mathfrak G}\) von der Wahl von \(F\) abhängt. In dem vorliegenden Aufsatze liefert Dickson unter Zugrundelegung eines \(F\) für die allgemeine Theorie der Gruppenmatrix, besonders ihre Zerlegung, vollständig durchgeführte Beispiele, indem er die Gruppenmatrix für die abstrakten Gruppen, die den regulären Körpern entsprechen, (die zyklische, die Dieder-, die Tetraeder-, die Oktaeder- und die Ikosaeder-Gruppe) eingehend behandelt. Die angewandten Methoden sind elementar; die Lektüre des Aufsatzes setzt die Kenntnis der oben genannten Arbeiten nicht voraus. Ausgeschlossen wird der Fall, daß \(F\) ein endliches oder Galoissches Feld ist, dessen Modul die Ordnung von \({\mathfrak H}\) teilt. (Vergl. das folgende Referat (JFM 34.0164.01).)