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Generational relations of an abstract simple group of order 4080. (English) JFM 34.0165.02

Der vorliegende Aufsatz ergänzt den voraufgehenden (JFM 34.0165.01) für die Primzahl \(p=2\). Die Gruppe aller unimodularen, Substitutionen \[ z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\;(\alpha \delta-\beta \gamma=+1), \] bei der die Größen \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) dem Galoisschen Felde \(2^n\) angehören, ist von der Ordnung \(2^n(2^{2n}-1)\) und für \(n>1\) einfach. Zur Erzeugung der abstrakten Gruppe, die dieser Gruppe holoedrisch isomorph ist, hat E. H. Moore \(2^n+1\) Erzeugende angegeben. (Vergl. Dickson, Linear groups with an exposition of the Galois field theory. 1901, S. 300) Für \(n=2\) kann die Gruppe durch zwei Operationen der Ordnungen 5 und 2 (ebenda S. 302), für \(n=3\) durch zwei Operationen der Ordnungen 9 und 2 erzeugt werden. (Dickson, American M. S. Bull. {(2)}, \(9\), 194; vergl. das folgende Referat (JFM 34.0166.01)). (Andere Erzeugung der einfachen \(G_{504}\) bei W. Burnside. Math. Ann. \( 52\), 174; F. d. M. \( 30\), 143, 1899, JFM 30.0143.02 Fricke, Math. Ann. \( 52\), 335; de Séguier, Journ. de Math. (5) \( 8\), 269, 1902). Verf zeigt in der zu besprechenden Arbeit von der \(n=4\) entsprechenden Gruppe der Ordnung 4080, daß sie als abstrakte Gruppe durch zwei Operationen \(A\) und \(B\) die nur den folgenden Relationen genügen: \[ A^{17}=1,\quad B^2=1,\quad (AB)^3=1,\quad (A^3 BA^7 B)^2=1, \]
\[ (A^4 BA^{12} B)^2=1,\quad (A^6 BA^9 B)^2=1, \] eindeutig definiert wird. Der Nachweis wird ausgehend von den nach dem Mooreschen Theorem sich ergehenden Erzeugenden der \(G_{4080}\) erbracht.

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