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Three sets of generational relations defining the abstract simple group of order 504. (English) JFM 34.0166.01

An die einfache Gruppe von der Ordnung 504 knüpft sich ein erhebliches Interesse. Die Existenz dieser einfachen Gruppe wurde von Cole entdeckt (1893, Chicago Congress). Dies war eine der Tatsachen, welche Moore auf seine Untersuchung der linearen gebrochenen Gruppe in dem Galoisschen Felde mit dem Ergebnis der Entdeckung eines neuen doppelt unendlichen Systems einfacher Gruppen führten. – Das erste System von erzeugenden Beziehungen folgt sofort aus einem in \(\S 2\) mit den nötigen Hinweisungen angeführten allgemeinen Theorem. Hieraus wird in den \(\S\S\) 5–9 das zweite System erzeugender Beziehungen abgeleitet: \[ A^7=I,\quad B^2=I,\quad (AB)^3=I,\quad (A^3 BA^5 BA^3 B)^2=I. \] Dieselbe Methode wurde vom Verf. benutzt (“Linear groups”) zur Bestimmung der wohlbekannten erzeugenden Relationen für die einfache lineare gebrochene Gruppe in dem \(GF [5]\) und \(GF [2^2]\), jede von der Ordnung 60, und für die in dem \(GF [7]\) von der Ordnung 168. In einer “Note on the simple group of order 504” (1899) hat Burnside das oben erwähnte zweite System durch eine direkte Zergliederung ermittelt. Andere Ableitungen dieses zweiten Systems rühren von Fricke (1893) und de Séguier (1902) her. – Das einfachste der drei ist das (neue) dritte System: \[ C^9=I,\quad D^2=I,\quad (CD)^3=I,\quad (C^3 DC^5 D)^2=I. \]

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