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Generational relations for the abstract group simply isomorphic with the linear fractional group in the \(GF[2^n]\). (English) JFM 34.0167.02

Dieser Aufsatz führt die auf S. 165 (JFM 34.0165.02) besprochenen Untersuchungen fort. Verf. weist nach, daß man in der Gruppe \(G\) aller unimodularen Substitutionen \[ z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\;(\alpha \delta-\beta \gamma=+1), \] wobei \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) dem Galoisschen Felde \(2^n\) \((n>1)\) angehören, zwei Substitutionen \(A\) und \(B\) bestimmen kann, die die folgenden Eigenschaften haben: \(A\) und \(B\) definieren die Gruppe \(G\), \(A\) ist hierbei von der Ordnung \(2^n+1\), \(B\) hat die Ordnung 2, das Produkt \(AB\) besitzt die Ordnung 3; ferner genügen \(A\) und \(B\) Relationen der Form \[ (BA^r BA^s)^2=1, \qquad (r=1, 2, \dots, 2^n), \] wobei die Zahl \(s\) durch die Zahl \(r\) allein mit Hülfe einer Kongruenz \(\text{mod.\,}2^n+1\) zu bestimmen ist. Die Fälle \(n =2, 3, 4, 5\) werden näher untersucht. Beispielsweise wird für \(n=4\) die einfache Gruppe der Ordnung 4080 durch die Relationen: \(A^{17}=1\), \(B^2=1\), \((AB)^3=1\), \((BA^3 BA^7)^2=1\), \((BA^4 BA^{12})^2=1\), \((BA^6 BA^9)^2=1\) eindeutig definiert.

Citations:

JFM 34.0165.02
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