×

On the subgroups of order a power of \(p\) in the quaternary Abelian group in the Galois field of order \(p^n\). (English) JFM 34.0167.03

Die spezielle quaternäre lineare Abelsche Gruppe mit Koeffizienten aus dem Galoisschen Felde \(p^n\), d. h. die Gesamtheit aller linearen homogenen Substitutionen der Determinante + 1 mit Koeffizienten aus dem Galoisschen Felde \(p^n\), die die bilineare Form \[ x_1 y_2-x_2 y_1+x_3 y_4-x_4 y_3 \] mit kogredienten Variabelnpaaren \(x_i, y_i\) absolut in sich transformieren, hat als größte invariante Untergruppe die aus der identischen Substitution und der Substitution \(x_i=-x_i'\) \((i=1, 2, 3, 4)\) bestehende Gruppe. Die aus der linearen speziellen Abelschen Gruppe entstehende gebrochene Gruppe \(G\) ist einfach außer für den Fall \(p = 2\) und \(n=1\), wo sie mit der symmetrischen Gruppe in sechs Symbolen holoedrisch isomorph ist. Die Ordnung von \(G\) ist für \(p>2\) gleich \[ \tfrac{1}{2}\,p^{4n}(p^{4n}-1)(p^{2n}-1), \] für \(p = 2\) gleich \(p^{4n}(p^{4n}-1)(p^{2n}-1)\). Die Gruppe \(G\) ist im Falle \(n=1\) und einer ungeraden Primzahl \(p\) für die Gleichung der \(p\)-Teilung der vierfach periodischen hyperelliptischen Funktionen von Bedeutung und tritt auch im Falle \(p = 3\) bei der Untersuchung der Gleichung der 27 Geraden einer allgemeinen Fläche dritter Ordnung auf. (F. d. M. \(32\), 131, 1901., JFM 32.0131.01?) C. Jordan hat sich daher in seinem Traité, S. 666 (Paris 1870), bereits mit Resolventen der genannten Gleichungen oder, was auf das gleiche herauskommt, mit Untergruppen von \(G\) beschäftigt. Verf. teilt hier von seinen diesbezüglichen Untersuchungen die über solche Untergruppen von \(G\) mit, deren Ordnungszahlen Potenzen der Primzahl \(p\) sind. Da \(p^{4n}\) die höchste in der Ordnung von \(G\) aufgehende Potenz der Primzahl \(p\) ist, so sind bekanntlich alle Untergruppen der Ordnung \(p^{4n}\) inbezug auf \(G\) konjugiert. Eine Untergruppe \(G_{p^{4n}}\) der Ordnung \(p^{4n}\) enthält, wie Verf. beweist, falls \(p>3\) ist, außer dem Einheitselemente nur Elemente der Ordnung \(p\). Im Falle \(p = 2\) oder \(p = 3\) enthält \(G_p^{4n}\) nur Elemente der Ordnungen \(1, p, p^2\). Innerhalb \(G\) ist eine Gruppe \(G_{p^{4n}}\) nur in einer Gruppe der Ordnung \(\frac{1}{2}\,p^{4n}(p^n-1)^2\) invariant. Die Elemente einer \(G_{p^{4n}}\) werden in Klassen konjugierter eingeteilt, ferner die invarianten Untergruppen von \(G_{p^{4n}}\) bestimmt. Näher untersucht werden Untergruppen von \(G\) der Ordnungen \(p^2, p^3\) und \(p^4.\)

Citations:

JFM 32.0131.01
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI