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On the reducibility of linear groups. (English) JFM 34.0168.01

Der von A. Loewy in den Transactions \( 4\), 171 (vergl. das folgende Referat (JFM 34.0169.02)) bewiesene Satz kann so formuliert werden: Ist \(R\) der Rationalitätsbereich aller reellen Zahlen und \(C\) der aus \(R\) durch Adjunktion der Wurzel \(i\) von \(x^2+1=0\) aus \(R\) hervorgehende Rationalitätsbereich, so ist jede Gruppe linearer homogener Substitutionen mit Koeffizienten aus \(R\), die in \(R\) irreduzibel ist, wenn sie nicht auch in \(C\) irreduzibel ist, in eine Gruppe: \[ \begin{matrix}\l\quad & \l\\ G & 0 \\ 0 & G^0 \end{matrix} \] transformierbar. \(G\) und \(G^0\) bedeuten in \(C\) irreduzible Gruppen linearer homogener Substitutionen mit nicht ausschließlich reellen Substitutionskoeffizienten; die Substitutionen von \(G^0\) werden erhalten, indem man die Koeffizienten in jeder Matrix der Substitutionen der Gruppe \(G\) durch ihre konjugiert imaginären Werte ersetzt.
Dickson beweist im Anschluß an Loewy, dessen Gedankengang verallgemeinernd: Ist \(F\) irgend ein Rationalitätsbereich, der jedoch kein endlicher Körper sein soll, und \(F_{(\varrho_0)}\) der aus \(F\) durch Adjunktion einer Wurzel \(\varrho_0\) einer in \(F\) irreduziblen algebraischen Gleichung \(r\)-ten Grades mit Koeffizienten aus \(F\) hervorgehende Rationalitätsbereich, so ist jede Gruppe linearer homogener Substitutionen mit Koeffizienten aus \(F\), die in \(F\) irreduzibel ist, wenn sie nicht auch in dem weiteren Rationalitätsbereiche \(F_{(\varrho_0)}\) irreduzibel ist, linear transformierbar in eine Gruppe: \[ \begin{matrix}\l\;& \l \;& \l\\ G\;0\;0\;& \dots & 0 \\ 0\;G'\;0 & \dots & 0 \\ 0\;0\;G'' & \dots & 0 \\ \vdots \\ 0 \;0\;0\;0 & \dots & G^{(r-1)}. \end{matrix} \] \(G\) ist eine in \(F_{(\varrho_0)}\) irreduzible Gruppe linearer homogener Substitutionen, deren Substitutionskoeffizienten nicht ausschließlich \(F\) angehören. Besitzt die in \(F\) irreduzible algebraische Gleichung \(r\)-ten Grades, die \(\varrho_0\) zur Wurzel hat, außer \(\varrho_0\) die Wurzeln \(\varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_{r-1}\), so werden die Substitutionen der Gruppe \(G^{(s)}\) \((s=1, 2, \dots, r-1)\) erhalten, indem man in den Koeffizienten jeder Matrix der Substitutionen von \(G\) die Wurzel \(\varrho_0\) durch \(\varrho_s\) ersetzt. \(G^(s)\) ist eine im Rationalitätsbereiche \(F_(\varrho_s)\) irreduzible Gruppe linearer homogener Substitutionen.
Adjungiert man im besonderen zu \(F\) die Wurzel \(\varrho_0\) einer Normalgleichung des Rationalitätsbereiches \(F\), so sind sämtliche Gruppen \(G, G', \dots, G^{(r-1)}\) in dem gleichen Rationalitätsbereiche \(F_(\varrho_0)\) irreduzibel; hierfür bietet Loewys Satz ein Beispiel.

Citations:

JFM 34.0169.02
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