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The subgroups of the generalized finite modular group. (English) JFM 34.0172.02
Chicago, the decennial publications. 52 S. (1903).
Die verallgemeinerte endliche Modulargruppe, die durch alle Substitutionen \( z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\,(\alpha \delta-\beta \gamma=+1)\) mit Koeffizienten aus einem Galoisschen Felde \(GF [p^n]\) (Galoisschen Imaginären) definiert ist und für \(p=2\) die Ordnung \(p^n (p^{2n}-1)\), für eine ungerade Primzahl \(p\) die Ordnung \(\frac{1}{2}\,p^n(p^{2n}-1)\) hat, ist zuerst von Mathieu (Journ. de Math. (2) \(5\), 38, 1860) untersucht worden; für \(n=1\), d. h. falls \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) Zahlen mod. \(p\) sind, hat sich bekanntlich bereits Galois mit dieser Gruppe beschäftigt. In den Chicago-Congress Mathem. papers, 208-242 (1893) “A doubly infinite system of simple groups” (publiziert 1896; F. d. M. \( 27\), 104, 1896, JFM 27.0104.01) bewies Verf., daß die verallgemeinerte Modulargruppe außer für \(p^n=2\) und \(p^n=3\) einfach ist. Ehe aber diese Arbeit erschien, veröffentlichte W. Burnside einen dieser Gruppe gewidmeten Aufsatz, der sich in den London M. S. Proc \( 25\), (F. d. M. \( 25\), 203-204, 1894, JFM 25.0203.02) befindet.
Die zu besprechende Arbeit, die alle Untergruppen der verallgemeinerten Modulargruppe bestimmt, wurde im August 1898 vor der American Math. Society gelesen und sollte in den Math. Ann. erscheinen. L. E. Dickson konnte bereits bei Abfassung seines Buches “Linear groups with an exposition of the Gabis field theory” (Leipzig 1901) für die \(\S\) 68-71 (Additive groups in the \(GF[p^n]\) and their multiplier Galois fields) und \(\S\) 239-263 (Subgroups of the linear fractional group \(LF(2, p^n))\) das ihm vom Verf. zur Verfügung gestellte Manuskript ausgiebig benutzen, und man findet bei ihm auf S. 49 und S.260 den Hinweis “Moore, Math. Ann., vol. 55 (56\(?\))”. Infolge seines Wunsches, die Ideen des letzten Paragraphen ausführlicher zu entwickeln, hielt Verf. jedoch sein Manuskript zurück. Inzwischen erschien die dem gleichen Gegenstand gewidmete Arbeit von Wiman “Bestimmung aller Untergruppen einer doppelt unendlichen Reihe von einfachen Gruppen”. (Stockh. Akad. Bihang \( 25\), No. 2; F. d. M. \( 30\), 197, 1899, JFM 30.0197.01). Die wesentlichen Resultate der hier vorliegenden Arbeit sind infolgedessen bekannt, und es wird genügen, aus der Inhaltsangabe des Verf. einzelnes mitzuteilen. “Im \(\S\) 1 werden die Theoreme über die allgemeine Bestimmung der symmetrischen und alternierenden Gruppe angegeben. (Über die von Moore gegebene abstrakte Definition dieser Gruppen ist zu vergl. F. d. M. \( 28\), 121, 1897, JFM 28.0121.03). \(\S\) 2 und 3 entwickeln die Eigenschaften des endlichen Feldes (Körpers), besonders den (Mooreschen) Satz, daß jedes endliche Feld die abstrakte Form eines Galoisschen Felds ist. \(\S\) 4 und 5 sind den Definitionen der reellen und zweier imaginären Formen der zu untersuchenden Gruppe gewidmet im \(\S\) 6 werden die einzelnen Elemente und die größten zyklischen und vertauschbaren Untergruppen der Gruppe bestimmt und inbezug auf ihre Ähnlichkeit klassifiziert. \(\S\) 2 bis \(\S\) 6; sind größtenteils ohne Änderung der erwähnten Abhandlung des Chicagoer Kongresses entlehnt und bilden einen wesentlichen Bestandteil jener Arbeit. Im \(\S\) 8 wird die Einfachheit der Gruppe (ausgenommen \(p^n=2\) oder 3) bewiesen; in der zuletzt erwähnten Abhandlung wurde dieses Theorem durch die eingehende Betrachtung einer einzigen komplizierten diophantischen Gleichung bewiesen; in dem hier gegebenen Beweise werden zwei der drei Fälle mit Hülfe Burnsidescher, im Verlauf der Arbeit ebenfalls bewiesener Sätze erledigt; der dritte Fall wird mittels einer einfachen diophantischen Gleichung behandelt. Natürlich erledigt die vollständige Aufzählung der Untergruppen die Frage der Einfachheit; aber augenscheinlich ist ein direkterer Beweis erwünscht. Bei der vollständigen Aufzählung der Untergruppen erweist sich die neue zweite imaginäre Form der Gruppe nützlich”. Diese zweite imaginäre Form der Gruppe, von der Verf. spricht, ist die zu verallgemeinerten endlichen Modulargruppe holoedrisch isomorphe Gruppe aller Substitutionen \( z'=\frac{Az+B}{-\overline{B} z+\overline {A}}\) der Determinante \(+1(A \overline{A}+B \overline{B}=+1)\), wobei \(A, B\) und \(\overline {A}, \overline{B}\), inbezug auf das Galoissche Feld \(G F[p^n]\) konjugierte Größen des \(GF[p^{2n}]\) sind. In L. E. Dicksons Terminologie heißt diese Gruppe die linear gebrochene der binären hyperorthogonalen Substitutionen der Determinante \(+1\). (Vergl. Dickons schon zitiertes Buch, S. 264.) Zum Schluß beweist Verf. die Verallgemeinerung für \(n=1\) auf Galois zurückgehenden Theorems “Die endliche verallgemeinerte Modulargruppe ist mit einer zweifach transitiven Permutationsgruppe \(p^n+1)\)-ten Grades, aber mit keiner Permutationsgruppe niedrigeren Grades außer für \(p^n = 5, 7, 9, 11\) holoedrisch isomorph; in diesen Ausnahmefällen kann sie auch als Permutationsgruppe in fünf, sieben sechs und elf Buchstaben dargestellt werden. Diese Permutationsgruppen sind dann 3-, 2-, 4- und 2-fach transitiv.” Diesen Satz hat Verf. bereits 1894 an Fricke mitgeteilt.