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Sur les groupes de Mathieu. (French) JFM 34.0176.01
Verf. berichtet über die Fortsetzung seiner in den C. R. \( 132\), 1030 bis 1033, bezw. im Journ. de Math. (5) \( 8\), 253ff (F. d. M. \( 32\), 154, 1901,JFM 32.0154.01; 33, 146, 1902, JFM 33.0146.02) begonnenen Untersuchungen. Sie führen ihn unabhängig von Frobenius’ Theorie der Gruppencharaktere zu dem Frobeniusschen Satze, daß nur vier transitive Permutationsgruppen existieren, deren Grad eine Primzahl \(p\) ist und die \(p+1\) Untergruppen der Ordnung \(p\) enthalten (Berl. Ber. 1902, 352; F. d. M. \( 33\), 144, 1902, JFM 33.0144.01), und gestatten ihm auch noch, Frobenius’ Resultate weiterzuführen: Dem Verf. handelt es sich um folgende vier Gruppengattungen:
1. Die Gruppe der Ordnung \(p^{m}q\), die durch die Substitutionen \(\alpha^g z+\beta\) entsteht, wobei \(g \cdot q=p^m -1\) ist und \(\alpha\) von Null verschieden sein muß.
2. Die Gruppe der Ordnung \(p^m(p^{2m}-1)\) der Substitutionen \(\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\), wobei \(\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0\) ist.
3. Die durch \(\alpha \delta-\beta \gamma=+1\) definierte Untergruppe der Ordnung \(\frac{1}{2}\, p^m(p^{2m}-1)\) der voraufgehenden Gruppe.
4. Die durch die Substitution \(\alpha x+\beta y\), \(\gamma x+\delta y\) definierte Gruppe der Ordnung \(p^m(p^{2m}-1)\), wobei \(\alpha \delta-\beta \gamma=+1\) ist.
\(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) sollen den Galoisschen Körper \(GF[p^m]\) durchlaufen; hierdurch ist auch ausgedrückt, daß \(p\) eine Primzahl sein soll. \(p\) sei \(> 2\). Für alle genannten Gruppen werden Gleichungen, die sie als abstrakte Gruppen definieren, angegeben. Zur weiteren Information muß es hier genügen, aus der großen Anzahl von ohne Angabe von Beweisen mitgeteilten Einzelresultaten folgendes anzuführen: “Wenn eine transitive Permutationsgruppe des Grades \(p^m+1\) als Untergruppe, die ein Symbol festläßt, die an erster Stelle genannte Gruppe hat, so muß \(q=p^m-1\) oder \(\frac{1}{2}(p^m-1)\) oder \(p^m=2^n-1=p\) mit \(q=1\) oder \(q=\) der ungeraden Primzahl \(n\) sein. Ist \(q=p^m-1\), so ist die Gruppe \(G\) die an zweiter Stelle genannte. (Vergl. das zweite Referat “G. A. Miller,” S. 174 (JFM 34.0174.02).) Ist \(q=\frac{1}{2}(p^m-1)\), so ist \(G\) notwendig außer für \(p^m=7\) die an dritter Stelle genannte Gruppe; für \(p^m=7\) gibt es zwei Gruppen.”

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