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Sur la théorie des groupes continus. (French) JFM 34.0183.02
Diese Arbeit enthält nach verschiedenen Richtungen hin eine Weiterführung und Vervollständigung der von Lie, vom Referenten und von Medolaghi gegebenen Theorie der Definitionsgleichungen der kontinuierlichen Gruppen. – Erweitert man eine infinitesimale Transformation \(Xf\) in \(x_1, \dots, x_n\), indem man \(n\) Veränderliche \(y_1, \dots, y_n\) die von \(Xf\) nicht transformiert werden, als Funktionen der \(x\) ansieht, so erhält man einen in den Ableitungen der \(\xi\) linearen und homogenen Ausdruck: \[ X^{(m)}f=\sum_i \xi_i(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}+\sum_{i \alpha_1\dots \alpha_n} \frac{\xi_i^{(\alpha_1 \dots \alpha_n)}}{\alpha_1!\dots \alpha_n!},\quad A_{i \alpha_1\dots \alpha_n}f \]
\[ (\alpha_1+\dots+\leqq m), \] wo die \(Af\) infinitesimale Transformationen in den Ableitungen erster bis \(m\)-ter Ordnung der \(y\) nach den \(x\) sind und in diesen Veränderlichen eine einfach transitive Gruppe \({\mathfrak A}_m\) erzeugen, deren endliche Gleichungen man sofort hinschreiben kann. Wird eine infinitesimale Transformation \(Yf\) in den \(y\) allein auf dieselbe Weise erweitert, so bekommt man \[ Y^{(m)}f=\sum_i \eta_i(y)\frac{\partial f}{\partial y_i}+\sum_{i \alpha_1\dots \alpha_n}\frac{\eta_i^{(\alpha_1 \dots \alpha_n)}}{\alpha_1!\dots \alpha_n!}\;B_{1 \alpha_1 \dots \alpha_n} f, \] wo die \(Bf\) nur die Ableitungen der \(y\) enthalten und ebenfalls eine einfache transitive Gruppe \({\mathfrak B}_m\) erzeugen, nämlich die zu \({\mathfrak A}_m\) reziproke Gruppe. Man kann auch eine endliche Transformation, vermöge deren \({\mathfrak B}_m\) mit \({\mathfrak A}_m\) ähnlich ist, sofort hinschreiben. Sind nun die Definitionsgleichungen der endlichen Transformationen einer kontinuierlichen Gruppe \(G\) vorgelegt, so kann man diese, was übrigens schon Tresse gezeigt hat (Acta math. Bd. 18) durch bloße Differentiationen und Eliminationen auf die von Lie angegebene Form \[ {(1)}\quad U_s \left(y_1,\dots, y_n,\frac{\partial y_1}{\partial x_1},\dots \right)=\omega_s(x_1, \dots, x_n)\quad (s=1, \dots, p) \] bringen, wo links gewisse Differentialinvarianten erster bis \(m\)-ter Ordnung der Gruppe \(G\) stehen, die man erhält, wenn man die infinitesimalen Transformationen von \(G\) in den \(y\) schreibt und sich die \(x\) nicht transformiert denkt, während \(\omega_s(x)\) erhalten wird, wenn man in \(U_s\) die Substitution \(y_i=x_i\) macht. Führt man in die \(U_s\), an Stelle der \(x\) neue Veränderliche \(x'\) ein durch eine beliebige Punkttransformation: \(x_i'=\varPhi_i(x)\), und setzt man \(U_s \left(y, \frac{\partial y}{\partial x'},\dots \right)=U_s'\), so erhält man Gleichungen von der Form \[ {(2)}\quad U_s'=L_s \left(U_1, \dots, U_p, \frac{\partial \varPhi_1}{\partial x_1}, \dots \right)\quad (s=1, \dots, p), \] die zusammen mit \(x_i=\varPhi_i(x)\) eine unendliche Gruppe in den Veränderlichen \(x_i\), \(U_s\)darstellen, eine Gruppe, deren infinitesimale Transformationen schon vom Referenten betrachtet worden sind und erhalten werden, wenn man \(X^(m)f\) auf die \(U_s\) ausführt. Nach Lie können nun die Definitionsgleichungen von \(G\) dadurch gefunden werden, daß man die Bedingungen aufstellt, unter denen eine Transformation dieser unendlichen Gruppe das Gleichungssystem \(U_s=\omega_s(x)\) invariant läßt. Die so entstehende Form der Definitionsgleichungen \[ (3)\quad L_s \left(\omega_1(x), \dots, \omega_p(x), \frac{\partial y_1}{\partial x_1}, \dots \right)=\omega_s(y) \quad(s=1, \dots, p), \] die auch nach den \(\omega_s(x)\) aufgelöst werden kann, nennt der Verf. die Medolagische. Er zeigt nun, wie man aus den Definitionsgleichungen von \(G\) die Definitionsgleichungen der mit \(G\) durch eine gegebene Punkttransformation ähnlichen Gruppe finden kann, und entwickelt eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Definitionsgleichungen aller transitiven Gruppen des \(R_n\). Von besonderer Wichtigkeit ist dabei die Frage, welche verschiedenen Gruppentypen durch Definitionsgleichungen von einer bestimmten Form (3) dargestellt werden. Verlangt man, wie man ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf, daß das System (3) vollständig integrabel sein soll, so müssen \(\omega_1, \dots, \omega_p\) einem Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung von der Form \[ (4)\quad \begin{cases} \varOmega_h \left(\omega_1, \dots, \omega_p, \frac{\partial \omega_1}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial \omega_p}{\partial x_n}\right)=0\quad (h=1,\dots, \varrho) \\ J_k \left(\omega_1, \dots, \omega_p, \frac{\partial \omega_1}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial \omega_p}{\partial x_n}\right)=c_k \quad (k=1, \dots, r) \end{cases} \] genügen, das bei der früher erwähnten unendlichen Gruppe {(2)} invariant bleibt. Jeder in der Form (3) enthaltene Gruppentypus ist dann durch ein bestimmtes Wertsystem der Konstanten \(C_k\) definiert, und jedes Lösungensystem \(\omega_1, \dots, \omega_p\) von (4) liefert eine dem Typus angehörige Gruppe; doch können auch zwei verschiedene Lösungensysteme von (4) dieselbe Gruppe liefern, wenn nämlich diese Gruppe in einer größeren Gruppe von Punkttransformationen invariant ist. Die Betrachtung von Beispielen zeigt, daß eine früher von Medolaghi aufgestellte Behauptung (F. d. M. \(29\), 322, 1898, JFM 29.0321.02) über die Form der Bedingungen (4) berichtigt werden muß. Der Verf. zeigt noch, wie man aus den Definitionsgleichungen einer transitiven Gruppe die ihrer transitiven Untergruppen ableiten kann. Insbesondere kann man die der invarianten transitiven Untergruppen immer wirklich hinschreiben. Endlich behandelt er die Frage, wie man her die Ähnlichkeit zweier Gruppen entscheiden kann, die durch ihre Definitionsgleichungen gegeben sind, und gibt eine Definition des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen, die auch auf unendliche kontinuierliche Gruppen anwendbar ist. Diese Definition stimmt mit einer etwas früher von Cartan veröffentlichten überein (F. d. M. \( 33\), 161, 1902, JFM 33.0161.04).

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