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Zum Eliminationsproblem bei analytischen Funktionen mehrerer Veränderlicher. (German) JFM 34.0194.03
Es mögen sich \(m\) analytische Funktionen \(r_1(x), r_2(x), \dots, r_m(x)\) der \(n\) Variabeln \(x_1, x_2, \dots, x_n\) innerhalb und auf dem Rande eines Gebietes \(D\) wie rationale Funktionen verhalten, so gilt als Erweiterung eines bekannten Satzes für den Fall einer einzigen Variable der Satz, daß sich die gemeinsamen Nullstellen der Funktionen \(r\) innerhalb \(D\) zu einer endlichen Anzahl von Gebilden verschiedener Dimensionen zusammenfassen lassen. Für diesen grundlegenden, bei Untersuchungen über Systeme mehrerer Funktionen vielfach stillschweigend benutzten Satz wird hier ein Beweis geliefert. Zunächst wird eine präzise Formulierung gegeben. Bedeuten \(z_1, z_2, \dots, z_{\nu}\) Parameter, so definieren nach Weierstraß \(n\) innerhalb eines gewissen Gebietes um den Nullpunkt herum gleichzeitig konvergente Potenzreihen \(x_1=\mathfrak{P_1}(z), \dots, x_n=\mathfrak{P_n}(z)\) ein Element eines analytischen Gebildes \(\nu\)-ter Stufe, und die Gesamtheit eines Elementes und seiner sämtlichen analytischen Fortsetzungen und Grenzstellen definiert ein irreduzibles analytisches Gebilde \(\nu\)-ter Stufe. Dann lautet der in Rede stehende “Endlichkeitssatz” : Die Gesamtheit der gemeinsamen Nullstellen der \(r_1, \dots, r_m\) innerhalb \(D\) besteht 1. aus einer endlichen Anzahl isolierter Punkte, 2. aus analytischen Mannigfaltigkeiten verschiedener Dimensionen, und zwar gibt es von jeder Dimension nur eine endliche Anzahl von Mannigfaltigkeiten. Hierzu tritt noch eine wesentliche Ergänzung für die innerhalb \(D\) auftretenden Grenzstellen; daselbst haben die \((x)\) den Charakter algebraischer Funktionen der Parameter \((z)\) (“Grenzstellensatz”).
Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt und beruht auf dem Hülfssatze, daß eine Potenzreihe \(P(x)=0\) in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes eine endliche Anzahl \((n-1)\)-dimensionaler analytischer Mannigfaltigkeiten definiert, deren Grenzstellen der verlangten Charakter haben. Schwierigkeit bereitet der Fall, wo (0) ein Grenzpunkt des oben definierten Gebildes \(\nu\)-ter Stufe ist wobei ein Satz von Poincaré herangezogen wird.
Der Vollständigkeit halber wird noch nachgewiesen daß die Möglichkeit, daß aus einem Gebiete \(\nu\)-ter Dimension durch Hinzufügung einer einzigen Gleichung Gebilde von geringerer als \((\nu-1)\)-ter Dimension ausgeschnitten werden, nicht eintreten kann.

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