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Mémoire sur les couples actifs des permutations. (French) JFM 34.0249.02

Die Permutationen von \(n\) Elementen werden in zwei “Arten eingeteilt; zur ersten Art gehören die Permutationen mit einer geraden Anzahl von Sequenzen (nach der Bezeichnung Bienaymés), zur zweiten Art diejenigen, welche aus einer ungeraden Anzahl von Sequenzen zusammengesetzt sind. Werden in einer Permutation zwei beliebige Elemente vertauscht, und ändert sich dadurch die “Art” der Permutation, so werden jene Elemente ein “aktives Paar” genannt; bleibt die Art ungeändert, so heißt das Elementenpaar “inaktiv”.
Die vorliegende Abhandlung beschäftigt sich mit den aktiven Elementenpaaren und behandelt im ersten Abschnitte eine einzige, fest gegebene Permutation von \(n\) Elementen. Die Elementenpaare werden nach ihrer Aktivität klassifiziert, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Zugehörigkeit eines beliebigen Paares zur Klasse der aktiven festgestellt und die Gesamtzahl der in der Permutation enthaltenen aktiven Paare bestimmt. Im zweiten Abschnitte findet der Übergang zu allen Permutationen von \(n\) Elementen statt, und zwar mit Halle der “geordneten”, d. h. derjenigen Permutationen, in welchen die beiden ersten, die beiden letzten und die \(n-4\) mittleren Elemente der zunehmenden Größe nach geordnet sind. Endlich finden sich im dritten Abschnitte die allgemeinen Resultate; es ergibt sich für die Gesamtzahl der aktiven Elementenpaare in der Gesamtheit aller \(n!\) Permutationen der Ausdruck \(\varTheta_n=\frac 23 \,n!(2n-3)\), mithin für die mittlere Anzahl jener Paare in einer beliebigen Permutation die Formel \(T_n=\frac 23(2n-3)\), während die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebig gewähltes Elementenpaar einer Permutation aktiv sei, durch die Zahl \(\tau_n=\frac 43 \,\frac{2n-3}{n(n-1)}\) geliefert wird.
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Full Text: DOI Numdam EuDML