Sur l’emploi simultané de lois de survie distinctes. (French) JFM 34.0271.01

Quiquet, A.

S. M. F. Bull. 31, 286-290 (1903).

Wenn die Absterbeordnung einer Personengesamtheit durch das Gompertz-Makehamsche Gesetz dargestellt werden kann, so ist bekanntlich die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine beliebige Gruppe von Individuen nach Verlauf von \(x\) Jahren noch ganz bestehe, durch eine einzige, nur von dem Alter der Individuen, nicht aber von \(x\) abhängige Variable darstellbar. In Anlehnung an diese Tatsache behandelt der Verf die folgende interessante Aufgabe: “Es seien \(a,b,\dots,l\) die Alter von \(N\) Individuen und \(\varphi_1(z),\varphi_2(z),\dots,\varphi_N(z)\) die bezüglichen Anzahlen der Lebenden im Alter von \(z\) Jahren für eine gegebene Geburtenbasis. Ferner seien \(a,\beta,\dots,\vartheta\) voneinander und von der Zeit unabhängige Funktionen der Größen \(a,b,\dots,l\), und \(n<N\). Welche Form müssen dann die Funktionen \(\varphi_i(z)\) haben, damit für beliebiges \(x\) \[ \frac{\varphi_1(a+x)}{\varphi_1(a)} \cdot \frac{\varphi_2(b+x)}{\varphi_2(b)} \cdot \frac{\varphi_N(l+x)}{\varphi_n(l)} = G(\alpha,\beta,\dots,\vartheta,x) \] sei\(?\)”
Wird \[ \frac{\partial \log \varphi_i(z)}{\partial z} = \psi_i(z)\quad (i=1,2,\dots,N) \] gesetzt, so ergibt die Untersuchung das Resultat, daß \(\psi_i(z)\) der linearen Differentialgleichung \[ A_0 \psi_i'(z)+A_1 \psi_i''(z) + \cdots +A_n \psi_i^{(n+1)} (z)=0 \] mit den konstanten Koeffizienten \(A_0,A_1,\dots,A_n\) genügt. Ist demnach \(r_k\) eine beliebige Wurzel der zugehörigen charakteristischen Gleichung und \(\lambda_k\) ihr Grad. so folgt: \[ \varphi_i(z)=e^{A+Bz+\varSigma e^{r_kz} f_k(z)}, \] wo \(f_k(z)\) eine ganze Funktion \((\lambda_k-1)\)-ten Grades für \(r \gtrless 0\) und \((\lambda_k+1)\)-ten Grades für \(r_k=0\) ist. Die gefundene Form der Absterbeordnung ist also eine Verallgemeinerung des Gompertz-Makehamschen Gesetzes, wie zu erwarten war.

Reviewer: Oster, Dr. (Mannheim)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Kombinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung.