Sur les séries divergentes et les équations différentielles. (French) JFM 34.0282.01

Maillet, E.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 20, 487-518 (1903).

Ist \(\sum_0^\infty \frac{\theta^n}{x^n} (\theta_0 \neq 0)\) eine formelle divergente Lösung einer Differentialgleichung \(\varSigma Ay^{i_0}y'{}^{i_1} \dots y^{(k)^{i_k}}=0\), in der die Koeffizienten \(A\) ganze Funktionen von \(x\) sind, so hat man für ein hinreichend großes \(n\) \(|\theta_n| \leqq \mu_1 n^{P''+N'' \nu)n}\), wo \(\mu_1\) und \(\nu\) endlich sind, \(\nu\) beliebig klein ist und \(P''\) und \(N''\) die größten Werte der Größen \(i_0+i_1+\cdots i_k\) und \(i_1+2i_2+\cdots +ki_k\) sind.
Le Roy hat als Summe von \(\sum_0^\infty \theta_n x^n\) das Integral \[ f_p(x)=\int_0^\infty e^{-z^{1/p}} z^{1/p-1} F_p(zx)dz \] betrachtet, wo \(F_p(zx)=\sum_0^\infty a_n(zx)^n\), \(\theta_n=\varGamma(pn+1)a_n\), \(p\) eine positive Zahl und \(a_n\) der allgemeine Koeffizient der Reihe \(F_p(z)\) ist, deren Konvergenzradius als endlich angenommen wird. Können diese Bedingungen erfüllt werden, und hat \(f_p(x)\) einen wohl definierten Wert, so ist \(\varSigma \theta_nx^n\) summierbar (im Borelschen Sinne). Ist \(F_p(z)\) eine ganze Funktion, deren wirkliche Ordnung kleiner als die scheinbare \(d\) ist, \(F(z)=e^{a_0z^d} \varPhi(z)\), wo \(\varPhi(z)\) eine ganze Funktion bedeutet, deren Ordnung kleiner als \(d\) ist, so gilt folgendes: Notwendig ist \(dp \geqq 1\). Das Integral \(f_p(z)\) existiert in der ganzen Ebene. Sein einziger kritischer Punkt in endlicher Entfernung ist der Nullpunkt.
Für \(dp = 1\) existiert, wenn \(a_0=\varrho_0 e^{i \alpha_0}\) ist. \(f_p(z)\) in der ganzen Ebene; ausgenommen sind die Teile der vom Nullpunkt ausgehenden Geraden, die mit \(\theta x\) den Winkel \(2lp \pi-\alpha_0 p\) bilden, zwischen dem Punkte \(e^{2lp \pi i} \left( \frac{1}{a_0} \right)^p\) und dem unendlich fernen Punkte.
Die Integrationswege müssen passend gewählt werden (man kann die vom Nullpunkt ausgehenden Geraden nehmen).
Die entsprechenden divergenten Reihen und diejenigen, die man durch Addition, Subtraktion und Multiplikation der Integrale \(f_p(z)\) herleitet, sind summierbar (im Borelschen Sinne).
Die Theorie der ganzen Funktionen ermöglicht es, alle divergenten Reihen zu bilden, auf welche dies Verfahren angewandt werden kann. Im besonderen kann man einen Wert beilegen den divergenten Reihen, in denen alle Glieder positiv sind, z. B. der Reihe \(\sum_0^\infty z^n \frac{(2n)!}{n!}\), wenn \(z\) reell und positiv ist.
Sind \(\sum_0^\infty \frac{\alpha_nz^n}{\varGamma(pn+1)}\), \(\sum_0^\infty \frac{\beta_nz^n}{\varGamma(pn+1)}\) zwei ganze Funktionen von der Form \(F(z)=e^{a_0z^d}\varPhi(z)\), und besteht formell die Gleichung \[ \sum_0^\infty \gamma_nz^n=\sum_0^\infty \alpha_nz^n \sum_0^\infty \beta_nz^n, \] so ist die ganze Funktion \(\sum_0^\infty \frac{\gamma_n z}{\varGamma(pn+1)}\) von der scheinbaren Ordnung \(d\), und wenn ihre wirkliche Ordnung nicht kleiner als \(d\) ist, so gibt es einen Sektor der \(z\)-Ebene, wo die obere Grenze des Moduls dieser Funktion \(e^{|z|^{1/p}}\) ist.

Reviewer: Weltzien, Prof. (Zehlendorf)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.